§2.5 函数的微分.ppt

1、1,微分的定义,微分的几何意义,微分公式与运算法则,小结 思考题 作业,2.5 函数的微分,(differential),微分在近似计算中的应用,2,导数,微分,导数与微分,表示函数在一点处由自变量所引起,的函数变化的快慢程度.,是函数在一点处由于自变量微小变化,所引起的改变量的近似值.,有着密切的联系.,3,正方形金属薄片受热后面积的改变量.,1.问题的引出,实例,线性函数(linear function),一、微分的定义,的线性(一次)函数,很小时可忽略.,的高阶无穷小,4,?,一定条件,线性函数,对一般函数,则无论在理论分析上还是在实际,则函数的增量,可以表示为,如果存在这样的,近似公式

2、,应用中都是十分重要的.,5,定义,2. 微分的定义,如果,则称函数,可微(differentiable),记作,微分(differential),并称,为函数,6,定理,证,(1) 必要性,3. 可微的充分必要条件,即有,7,(2) 充分性,求导法又叫微分法,从而,其微分一定是,定理,即有,8,第一章第七节定理1 (58页),微分的实质,线性函数,线性主部.,主部,所以在,条件下,9,的条件下,近似代替增量,其误差为,因此,有精确度,较好的近似等式,结论,在,10,称为函数,的微分,记作,称为自变量的,微分,记作,什么意思？,解,例如：,11,自变量的增量就是自变量的微分：,函数的微分可以写

3、成:,上例表明:,即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的,微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也,称为微商.,12,例1,解,13,几何意义,(如图),二、微分的几何意义,对应的增量,增量时;,是曲线的纵坐标,就是切线纵坐标,14,15,三、微分公式与运算法则,1.微分的基本公式,微分的基本公式与导数的基本公式相似,微分公式一目了然, 不必讲了.,16,基本求法,1. 基本微分公式,计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,17,2. 运算法则,18,例2,解,例3,解,19,例,20,结论,一阶微分形式的不变性,3. 复合函数的微分法,此结论用于求复合函数的导数,有时能

4、简化运算.,无论x 是自变量还是中间变量,函数,的微分形式总是,21,例4,解,法一,用复合函数求导公式,法二,用微分形式不变性,在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.,22,练习求,23,例5,解一,解二 将方程两边x对求导得,24,求,解:,例6 设,方程两边对x求导得,25,例,解,7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.,说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,26,数学中的反问题往往出现多值性 , 例如:,27,例8,解,四、微分在近似计算中的应用,1. 计算函数增量的近似值,28,2. 计算函数的近似值,曲线,的切线的表达式.,通常称为函数,

5、的一次近似或线性近似.,29,例9,解,30,31,的近似值 .,解: 设,取,则,练习. 求,32,常用的几个一次近似式,2. 计算函数的近似值,33,证,例10,解,由公式,34,例11,解,(1),(2),35,微分概念 微分的基本思想,微分的几何意义,微分公式与运算法则,五、小结,导数与微分的关系,就是切线纵坐标对应的增量,熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分,以直代曲,36,微分在近似计算中的应用,37,练习题,3. 已知,求,则,由方程,确定,求,4. 设,1.填空,38,1. 填空,则,39,利用微分形式不变性, 得,3. 已知,求,解：,另解：利用隐函数求导法则。,40,4

6、. 设,由方程,确定,解:,方程两边求导,得,当,时,求,41,作业,习题2-5 (122页),3. 7(1). 10.,42,由导数的“微商”及一阶微分形式不变性, 再来看反函数、参数方程、复合函数等的求导公式就会有另一种感觉：,注：,哈哈！ 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.,43,定义,由于测量仪器的精度、条件和方法等各种,因素的影响,测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它叫做,间接测量误差.,的绝对误差.,的相对误差.,3. 误差估计（自学）,而根据,那末,叫做,叫做,44,在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得,将误差确定在某一个范围内.,即,绝