几何变换之旋转构造（三）

1、几何变换之旋转构造(三)专题三：中心对称篇遇中点，旋180，造平行（倍长中线）例题精讲【例 1】 （顺义区2009一模第25题）已知：在中，在中，连结，取的中点，连结和 若点在边上，点在边上且与点不重合，如图，探索、的关系并给予证明； 如果将图中的绕点逆时针旋转小于的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明【例 2】 如图将等腰直角三角形绕点按逆时针方向旋转，其余条件不变，结论：为等腰直角三角形还成立吗? 【例 3】 已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接，求证：；将图中绕点逆时针旋转，如图所示，取中点，连接，问中的结论是否仍然成立？

2、若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由将图中绕点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG图FBADCEG图FBACE图【例 4】 已知正方形和等腰，按图l放置， 使点在上，取中点，连、 探索、的数量关系，并说明理由； 将图1，绕点顺时针旋转得图2，连结，取的中点，问中的结论是否成立，并说明理由； 将图l中绕点转动任意角度（旋转角在0到之间）得图3，连结，取的中点，问中的结论是否成立，请说明理由；【例 5】 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是

3、M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1AHC(M)DEBFG(N) G图2AHCDEBFNMAHCDE图3BFGMN【例 6】 如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边BC的延长线上（），取线段的中点探究：线段、的关系，并加以证明说明： 如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）； 在你经历说明的过程之后

4、，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分 的延长线交于点，且； 将正方形绕点逆时针旋转（如图2），其他条件不变； 在的条件下且附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图3），其他条件不变探究：线段、的关系，并加以证明【例 7】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DABEFCPG图1DCGPABEF图2请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2

5、）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【例 8】 已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧作等边(与不重合)，连接 若为等边三角形，当点在线段上时(如图1所示)，则直线与直线所夹锐角为 度； 若为等边三角形，当点在线段的延长线上时(如图2所示)，你在中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； 若不是等边三角形，且(如图3所示)试探究当点在线段上时，你在中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使中的结论成立，并说明理由 【例 9】 (1)如图，在四边形中，分别是边上的点，且求证：;(2) 如图在四边形中，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形中，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明【例 10】 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系如图，当点在边上，且时，之