管理统计学-第4章--假设检验

1、第4章 假设检验,4.1 假设检验的基本原理 4.2 参数假设检验 4.3 非参数假设检验,例： 某种大量生产的袋装食品，按规定每袋重量不得少于250g。 今从一批该种食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250g 。若规定不符合标准的比例达到5，食品就不得出厂，问该批食品能否出厂。 从2000年的新生儿中随机抽取30个，测得其平均体重为3210g,而根据1999年的统计资料,新生儿的平均体重为3190g,问2000年的新生儿与1999年相比，体重有无显著差异。,某健身俱乐部欲根据往年的会员情况，制定2006年的会员发展营销策略。主管经理估计俱乐部会员的平均年龄是35岁，其中2535岁的会员占总

2、人数的70%。研究人员从2005年入会的新会员中随机抽取40人，调查得知他们的平均年龄是32岁，其中2535岁的会员占74%。根据这份调查结果，问主管经理的对会员年龄的估计是否准确？,4.1 假设检验的基本原理,4.1.1 假设检验的定义 4.1.2 假设检验的分类 4.1.3 假设检验的思想方法 4.1.4 原假设和备择假设 4.1.5 假设的两类错误分析 4.1.6 总体参数检验的步骤和方法,4.1.1 假设检验的定义,统计假设：关于总体的分布以及分布中所含参数的各种论断. 假设检验：施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设 假设总体分布的形式或总体的参数有某种特征 判断原先的假设是否合

3、理 合理：承认假设的正确性 不合理：否定原先的假设 对问题作出分析或推断,假设检验的过程和思路 概率意义下的反证法,总体,假设总体的 平均年龄是35岁,样本均值是32岁,样本,样本均值,= 35,基本原理,抽样分布,这是样本均值,如果这是总体均值,判断：拒绝or不拒绝零假设 = 35？,32,H0,4.1.2 假设检验的分类,假设检验包括：参数假设检验和非参数假设检验 参数假设检验：X1,X2,Xn是来自分布形式已知、参数未知总体的样本，由其观测值检验假设H0:=0; H1: 0, 为已知实数 非参数假设检验： X1,X2,Xn是来自分布形式未知总体的样本，由其观测值检验假设H0:F(x)=F

4、0(x, ); H1: F(x) F0(x, ), F0(x, )为已知分布函数,4.1.3 假设检验的基本原理,假设检验的基本思想 提出统计假设，根据小概率原理对其进行检验 实际推断原理/小概率原理 小概率事件 ：在某次试验或观测中，出现的概率很小的事件 小概率事件在一次试验中几乎不会发生 小概率事件发生，否定原来的假设,假设检验基本原理,假设检验的基本思想,前提： 承认 原假设,小概率 事件发生,大概率 事件发生,拒绝 原假设,接受 原假设,进行一次实验,4.1.4 原假设和备择假设,假设检验的三种形式 左尾检验、右尾检验和双尾检验 H0为原假设，H1为备择假设,原假设与备择假设的确定,若

5、想支持某种假设，把它作为备择假设，把该陈述的否定假设作为原假设 两种假设互斥且完备，接受H0 ，必须拒绝H1 一个特定形式的H1不只与唯一的H0相对,4.1.5 假设的两类错误分析,4.1.5 假设的两类错误分析,4.1.5 假设的两类错误分析,两类错误的对比情况表 为拒真概率， 为存伪概率，1 为检验功效 控制第一类型错误较为实际，即只分析原假设H0，这样的假设为显著性检验，为显著性水平,两类错误对比情况表,对于一定的样本容量n ，不能同时做到两类错误的概率都很小。如果减小错误，就会增大犯错误的机会；若减小错误，也会增大犯错误的机会。,使、 同时变小的办法就是增大样本容量。,一般地说，哪一类

6、错误所带来的后果越严重，危害越大，在假设检验中就应当把哪一类错误作为首要的控制目标。但在假设检验中，一般均首先控制犯错误概率。,两类 错误 关系,4.1.6 总体参数检验的步骤,（1）提出假设 根据检验目标，对待推断的总体参数或分布提出一个基本假设 （2）决定检验的显著性水平 由被检验的统计量分布求出相应的临界值 该临界值为零假设的拒绝域和接受域的分界线 （3）构造检验统计量，依据样本信息计算检验统计量的实际值 （4）将实际求得的检验统计量取值与临界值进行比较，作出拒绝或接受零假设的决策 p，不应拒绝零假设,举例1,某健身俱乐部主管经理估计会员的平均年龄是35岁，研究人员从2005年入会的新会

7、员中随机抽取40人，调查得到他们的年龄数据如下。,试根据调查结果判断主管经理的估计是否准确？,提出原假设和备选假设,原假设（Null hypothesis）又称零假设，是需要通过样本推断其正确与否的命题，用H0表示。 本例中可以提出： H0 : m=35；这里m表示总体会员的平均年龄，意味着总体会员的平均年龄与主管经理估计的35岁没有差异。 与原假设对立的假设是备选假设，用H1表示。 在本例中，备选假设意味着“总体会员的平均年龄与主管经理估计的会员平均年龄35岁有显著差异”，可以表示为H1 : m35。 原假设与备选假设互斥，检验结果二者必取其一。,原假设,1. 陈述需要检验的假设 例如: H

8、0: = 35 2. 零假设用 H0 表示 3. 代表“正常”的情形 4. 总是包含等号“=” 5. 检验以“假定原假设为真”开始,备择假设,1. 为原假设的对立情况 例如: H1: 35 2. 备择假设用H1表示 3. 代表“不能轻易肯定的情况” 4. 很少包含等号,确定适当的检验统计量,假设检验需要借助样本统计量进行统计推断，称为检验统计量。不同的假设检验问题需要选择不同的检验统计量。 在具体问题中，选择什么统计量，需要考虑的因素有：总体方差已知还是未知，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，等等。 在本例中，由于n=4030是大样本，所以 近似服从正态分布，以样本标准差代替总体标准差，所

9、用的统计量是：,选取显著性水平，确定接受域和拒绝域,显著性水平（Significant Level）：事先给定的形成拒绝域的小概率，用a表示。 通常取a=0.01， a=0.05或a=0.10；这表明，当作出接受原假设的决定时，其正确的概率为99%，95%或90%。 拒绝域：原假设 H0 成立条件下,统计量落入的小概率区域。 接受域：统计量能够取值的非拒绝域。 本例为双侧检验，有 接受域：1.96z1.96 拒绝域：z1.96,在实际应用中，一般是先给定了显著性水平，这样就可以由有关的概率分布表查到临界值（critical value） ，从而确定H0的接受域和拒绝域。对于不同形式的假设， H

10、0的接受域和拒绝域也有所不同。,如图所示，双侧检验的拒绝域位于统计量分布曲线的两侧，左单侧检验的拒绝域位于统计量分布曲线的左侧，右单侧检验的拒绝域位于统计量分布曲线的右侧。,计算检验统计量的值,在提出原假设H0和备选假设H1，确定了检验统计量，给定了显著性水平a以后，接下来就要根据样本数据计算检验统计量的值。其计算的基本公式为： 上式不是计算检验统计量的唯一公式 在本例中，,作出统计决策,根据样本信息计算出统计量z的具体值，将它与临界值 相比较，就可以作出接受原假设或拒绝原假设的统计决策。 在本例中，由于z=3.1841.96，落在拒绝域内，所以拒绝原假设H0。可以得出结论：在a=0.05的显

11、著性水平下，抽样结果的平均年龄显著低于主管经理的估计值，有理由认为经理的估计不准确。,4.2 参数假设检验,4.2.1 一个正态总体参数假设检验 4.2.2 一个正态总体参数假设检验的SPSS应用 4.2.3 两个正态总体参数假设检验 4.2.4 两个正态总体参数假设检验的SPSS应用,假设检验的内容,假设检验,一个总体均值的 假设检验,s未知,s已知,两个总体均值差 的假设检验,4.2.1 一个正态总体参数假设检验,已知的Z检验,已知的Z检验,1.将样本统计量（如 ）转换为标准正态分布Z变量 2.与Z的临界值比较 如Z检验统计量的值落在临界域内则拒绝H0 否则，不能拒绝H0,Z,X,X,x,

12、x,/,已知，均值的双侧Z检验,1.假设 总体服从正态分布； 当(n 30)时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来近似。 2.零假设只有“=”号 3.使用Z检验统计量,H0,临界值,临界值,1/2,1/2,样本统计量,拒绝域,拒绝域,非拒绝域,拒绝域,抽样分布,1 ,置信度,举例,2005年北京市职工平均工资为32808元，标准差为3820元。现在随机抽取200人进行调查，测定2006年样本平均工资为34400元。按照5%的显著性水平判断该市2006年的职工平均工资与2005有无显著差异？,解答,在本例题中，我们关心的是前后两年职工的平均工资有没有显著的差异，不涉及差异的方向，因此，本题属于

13、双侧检验。检验过程如下： （1）提出假设： H0:m=32808；H1:m32808； （2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量； （3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值： 。判断规则为：若z1.96或z-1.96，则拒绝H0；若-1.96z 1.96，则不能拒绝H0。,（4）计算统计量Z的值 （5）检验判断：由于 ，落在拒绝域，故拒绝原假设H0。 结论：以5%的显著性水平可以认为该市2006年的职工平均工资比2005年有明显的差异。,已知，均值的单侧Z检验,1.假设 总数服从正态分布； 当(n 30)时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来逼近。 2.零假设只

14、有 或者 号 3.使用Z检验统计量,Z,0,Z,0,拒绝域,拒绝域,H0:0 H1: 0,H0:0 H1: 0,较小的m值与H0不矛盾.,拒绝域,1 - ,1,举例,已知某电子产品的使用寿命服从正态分布，根据历史数据，其平均使用寿命为8000小时，标准差为370小时。现采用新的机器设备进行生产，随机抽取了100个产品进行检测，得到样本均值为7910小时。试问在5%的显著性水平下，新的机器是否合格？,解答,这是一个左单侧检验问题。抽样的目的是为了检测新机器生产的产品的使用寿命是否达到标准，我们比较关心的是使用寿命的下限，如果新产品的使用寿命与过去相比没有明显降低，则说明所使用的新机器合格；反之，

15、则说明新机器不合格。检验过程如下： （1）提出假设： H0:m8000；H1:m8000； （2）总体标准差s已知，大样本抽样，故选用Z统计量； （3）显著性水平a=0.05，由单侧检验，查表可以得出临界值,（4）计算统计量Z的值： （5）检验判断：由于 ，落在拒绝域；故拒绝原假设H0。即认为产品的使用寿命有明显降低，新机器不合格。,未知的大样本检验,1. 假设 总体服从正态分布； 当(n 30)时，不服从正态分布的总体可以用正态分布来近似。 2. 使用Z检验统计量 3. 将样本统计量转换为标准正态分布Z变量 4. 与Z的临界值比较 如Z检验统计量的值落在临界域内则拒绝H0 否则，不能拒绝H0

16、,举例,某乳制品厂生产的一种盒装鲜奶的标准重量是495克。为了检测产品合格率，随机抽取100盒鲜奶，测得产品的平均重量为494克，标准差为6克，试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。,解答,产品的标准重量是495克，过轻或者过重都不符合产品质量标准。检验过程如下： （1）提出假设： H0:m=495；H1:m495； （2）总体标准差s未知，但是由于大样本抽样，故仍选用Z统计量 （3）显著性水平a=0.05，由双侧检验，查表可以得出临界值 （4）计算统计量Z的值，式中用s代替s： （5）检验判断：由于 ，落在接受域；故不能拒绝原假设H0，即不能说明这批产品的不符合质量标准。,未知的小

17、样本检验,1. 假设 总体服从正态分布； 2. 使用t检验统计量 4. t检验的决策规则: 若采用双侧检验，临界值为-ta/2和ta/2 。当-ta/2 t ta/2时，落入接受域，不能拒绝原假设；反之，则拒绝原假设。 若采用左单侧检验，临界值为-ta。当t -ta时，落入拒绝域，拒绝原假设；反之，则不能拒绝原假设。,举例5,沿用例4，对鲜奶产品进行抽样检查，随机抽取10盒产品，测得每盒重量数据如下（单位：克）：496、499、481、499、489、492、491、495、494、502。试以5%的显著性水平判断这批产品的质量是否合格。,解答,根据前面的分析，本例题为双侧检验问题。检验过程如

18、下： （1）提出假设： H0:m=495；H1:m495； （2）总体标准差s未知，小样本抽样，故仍选用t统计量； （3）当a=0.05，自由度n-1=9时，由双侧检验，查表可以得出临界值： 计算得： （4）计算统计量t的值： （5）检验判断：由于 ，落在接受域；故不能拒绝原假设H0，即不能说明这批产品不符合质量标准。,未知方差2，检验假设0,提出零假设H0 确定统计量T 已知其分布和参数 统计量的值可以计算 计算统计量T值 给出显著性水平 ，做出决策 TT /2，拒绝H0,未知方差2，检验假设0,为未知方差 2，检验假设： 0的特殊情况 可由题意及统计量T的构成，确定T 0，仅考虑T T/2

19、的情况,例4.1 样品直径均值检验,测得一批零件的20个样品的直径（单位：cm） 假设直径服从正态分布，样本的均值与总体均值显著差别 总体均值为5.20 对样本的数据进行均值检验,One-Sample T Test对话框,AnalyzeCompare meansOne-Samples T test：One-Sample T Test 在Test Value框中输入检验值,Test 列表框,用于输入总体均值,One-Sample T Test: Options对话框,置信度：50,99，默认值95,缺失值的处理方式,剔除计算时涉及变量含有缺失值的case,剔除在任意变量上含有缺失值的case,O

20、ne-Sample T Test输出结果,单样本数据的统计表,数据个数,均值,标准差,均值的标准误差,总体均值,T统计量值,自由度,双尾显著性概率,均值差：样本均值与总体均值之间的差值,均值差的95%置信区间,4.2.3 两个正态总体下的参数假设检验,未知两个总体的均值1、2，检验假设H0：总体方差 未知两个总体的均值1、2，检验假设H0：总体方差 未知两个总体的方差 ， 已知 ，检验假设H0：1=2 未知两个总体的方差 ， 已知 ，检验假设H0：1=2,未知总体均值1和2 ，检验H0：,统计量 服从F(n-1，m-1)分布 计算统计量F值，与F/2和F1- /2比较，做出决策,未知总体均值1

21、和2 ，检验H0：,统计量 服从F（n-1，m-1）分布 计算统计量F值，与F比较，做出决策,未知总体方差 ，已知 检验H0：1=2,统计量 服从t(m+n-2)， n为来自总体X的样本数，m为来自总体Y的样本数 计算统计量F值， tt /2，拒绝H0 tt /2 ，接受H0,未知总体方差 ，已知 检验H0：1=2,统计量 检验过程同未知两个总体的方差 ， 已知 ，检验假设H0：1=2 的检验,例4.2 独立样本的t检验,某企业统计了两种不同的膨化食品A和B分别在八家不同超市的日销量（箱） 检验两种膨化食品的日销量是否有显著差异,Independent-Sample T Test对话框,Ana

22、lyzeCompare MeansIndependent-Samples T Test.,Test 列表框,分类变量,Define Groups对话框,不同变量值对应的数据将被用作检验对象,分别将大于等于与小于窗口中数值的数据作为两组进行t检验,One-Sample T Test: Options对话框,置信度：50,99，默认值95,缺失值的处理方式,剔除计算时涉及变量含有缺失值的case,剔除在任意变量上含有缺失值的case,Group Statistics输出表,分组统计表,数据个数,均值,标准离差,均值的标准误差,Independent Samples T Test输出表,方差齐性,方

23、差非齐性,方差非齐性检验,等均值t检验,均值差异标准误差,例4.3 环境对液态产品的影响检验,不同压力环境A和B下的某液态产品的浓度数据 检验不同环境对该液态产品的浓度是否有显著影响（零假设为没有显著影响）,Paired-Samples T Test对话框,AnalyzeCompare MeansPaired-Samples T Test,Test 列表框,配对变量,Paired-Samples T Test输出结果,配对样本统计表,配对样本t检验,4.3 非参数假设检验,4.3.1 符号检验法：通过两个相关样本的每对数据之差的符号进行检验，比较两个样本的显著性 配对资料的符号检验 样本中位数

24、与总体中位数比较的符号检验 4.3.2 秩和检验法：一种用样本秩来代替样本值的检验法，可用于检验两个总体的分布函数是否相等的问题 配对试验资料符号秩和检验 非配对试验资料符号秩和检验 4.3.3 非参数假设检验的SPSS应用 卡方检验 柯尔莫哥洛夫-斯米诺夫检验,配对资料的符号检验,提出无效假设与备择假设 H0：甲、乙两个处理差值d总体中位数 0 H1：甲、乙两个处理差值d总体中位数0 进行单尾检验，把“”换成“”或者“” 计算差值并赋予符号 d0，记为“”， “”个数记为n d0，记为“”， “”个数记为n d0，记为“0”， “0”个数记为n0 统计量K min n ， n 统计推断 令n

25、 nn KK0.05(n)，P0.05，不能否定H0，两个处理差异不显著 K0.01(n)KK0.05(n)，0.01P0.05，否定H0，接受H1，两个处理差异显著 KK0.01(n)，P0.01，否定H0，接受H1，两个处理差异极显著,提出无效假设与备择假设 H0：样本所在的中位数 已知总体的中位数 H1：样本所在的中位数已知总体的中位数 进行单尾检验，把“”换成“”或者“” 计算差值，确定符号及其个数 样本各观测值中大于已知总体中位数的，记为“”， “”个数记为n 样本各观测值中小于已知总体中位数的，记为“”， “”个数记为n 样本各观测值中等于已知总体中位数的，记为“0”， “0”个数

26、记为n0 统计量K min n ，n 统计推断 令n nn KK0.05(n)，P0.05，不能否定H0，样本中位数与已知总体中位数差异不显著 K0.01(n)KK0.05(n)，0.01P0.05，否定H0，接受H1，样本中位数与已知总体中位数差异差异显著 KK0.01(n)，P0.01，否定H0，接受H1，样本中位数与已知总体中位数差异差异极显著,样本与总体中位数比较的符号检验,配对试验资料符号秩和检验,提出无效假设与备择假设 H0：差值d总体中位数 0 H1：差值d总体中位数0 进行单尾检验，把“”换成“”或者“” 编秩次，定符号 求配对数据的差值d 按d的绝对值从小到大编秩次 根据原差

27、值正负，在各秩次前标正负号 d=0，舍去不记 d的绝对值相等，取其平均秩次 确定统计量T T为正秩次及负秩次和中绝对值较小者 统计推断 令正负差值的总个数为n TT0.05(n)，P0.05，不能否定H0，两个处理差异不显著 T0.01(n)TT0.05(n)，0.01P0.05，否定H0，接受H1，两个处理差异显著 TT0.01(n)，P0.01，否定H0，接受H1，两个处理差异极显著,非配对试验资料符号秩和检验,提出无效假设与备择假设 H0：甲样本所在的总体中位数乙样本所在的总体中位数 H1：甲样本所在的总体中位数乙样本所在的总体中位数 进行单尾检验，把“”换成“”或者“” 求两个样本合并

28、数据的秩次 两个样本的含量为n1和n2，合并后为n1 n2 合并后的数据按从小到大的顺序排列，序号即为数据的秩次 不同样本的观测值相同，取原秩次的平均秩次 同一样本的观测值相同，不必改动 确定统计量T 秩和较小的样本含量记为n1，秩和为T统计量 统计推断 T在T0.05(n1) - T0.05(n2n1)之内 ，P0.05，不能否定H0，两个处理差异不显著 T在T0.05(n1) - T0.05(n2n1)之内外，在T0.01(n1) - T0.01(n2n1) 之内，0.01P0.05，否定H0，接受H1，两个处理差异差异显著 T在T0.01(n1) - T0.01(n2n1) 之外，P0.01，否定H0，接受H1，两个处理差异差异极显著,非参数假设检验方法,AnalyzeNonparametric Tests,非参数假设检验,卡方检验,二项检验,游程检验,K-S检验,两个独立样本的检验,多个独立样本的检