模糊数学及其应用第一章绪论

1、模糊数学及其应用,主讲：郭运瑞,模糊数学 用数学方法研究和处理“模糊性”现象的数学。,模糊数学及其应用,第一章：,模糊数学概述, 模糊数学的诞生,一、模糊数学创始人简介,1965年美国加利福尼亚大学著名的控制论专家扎德(Zadeh L.A1921)教授在Information and Control杂志发表了一篇开创性论文“Fuzzysets”(模糊集合)，这标志着模糊数学的诞生。,1921年2月4日出生于前苏联巴库(现今阿塞拜疆共和国首都)。 1942年获伊朗德黑兰大学电机工程系学士， 1944年获美国麻省理工学院电机工程系硕士， 1946年获美国哥伦比亚大学电机工程博士。 1956年，他是

2、普林斯顿高级研究院的访问成员。,1957年起，他在美国哥伦比亚大学任教授。 1959年起，他在加利福尼亚大学电机工程系任教授。 在1965年以前，扎德的工作集中在系统理论和决策分析方面。 从1965年开始，他的主要的研究兴趣转移到发展模糊集理论和将其应用于人工智能、语言、逻辑、决策分析和人类系统的分析方法。 自从信息与控制杂志发表了他的开创性论文“模糊集合”后，扎德被世界公认为是对系统理论及其应用这一领域最有贡献的人之一。被人们称为“模糊集之父”。,二、模糊数学是继经典数学、统计数学 之后数学的一个新分支 统计数学 将数学应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域。 模糊数学 则把数学的应用范围

3、从精确现象扩大到模糊现象的领域。模糊数学是用数学方法研究和处理“模糊性”现象的数学。,量：,确定性,不确定性,经典数学,随机性,模糊性,随机数学,模糊数学,随机性的不确定性，也就是概率的不确定性，主要与事件的发生有关。 例如，“明天有雨”， “掷一粒骰子出现6点”等， 它们的发生是一种偶然现象，具有不确定性。 在这里事件本身（“有雨”，“出现6点”)是确定的，而事件发生与否不确定。 只要时间过去了，到了明天，“明天有雨”这个事件是否发生就变成确定的了；只要做一次实验，“6点”是否出现就变成确定的了。,而模糊性的不确定性则不相同！ 如“青年人”，“高个子”的不确定性，即使到了明天，或者做一次实验

4、，它们仍是不确定的。 这主要是事件本身（“青年人”、“高个子”)是不确定的，具有模糊性，它是由概念、语言的模糊性产生的。,当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求定量化、数学化。当然也迫切要求将模糊概念(现象)定量化、数学化，这就促使人们去寻求一种研究和处理模糊概念(现象)的数学方法。,众所周知，传统的经典数学是以精确性为特征的。然而，与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的。 “高个子、长头发、大胡子、戴宽边棕色眼镜的青年男生” 太精确了不免显得迂腐，适当的模糊反而显得更灵活。 模糊数学绝不是把数学变成模模糊糊的东西，它同样具有数学的特性：条理分明，一丝不苟。即使描述模糊概念(现象)，也会

5、描述得清清楚楚。,2 模糊数学与精确数学的辩证关系,1.模糊与精确各有优略,2. 模糊数学的基本思想和方法,模糊数学作为研究和处理模糊性现象的工具，不是放弃经典数学固有的严密性和逻辑性去迁就模糊性，而是让数学回过头来吸取人脑对模糊现象识别和判定中的优点，将数学打入到具有模糊现象及模糊概念的各个领域中去。就它本身的思想方法而言仍然是精确的。,因此我们认为: 从概念上:模糊数学是经典数学的推广和自然发展。 从思想方法上:模糊数学又是使用了传统经典数学的普通集合论的思想方法并进行了改进。 从后续的阐述中也可以见得，我们不能把模糊数学和经典数学分割开来，也不能完全用经典数学的思想来看待模糊数学，它们之

6、间存在着难分难解的辩证关系。,模糊数学与经典数学的根本区别，在于依据的集合论不同。经典数学的基础是外延分明的康托尔集合论，即一个事物X与它的系统A有着十分明确的数量关系，要么X属于A，要么不属于A，两者必居其一。而模糊数学的基础是模糊集合论，在扎德研究的模糊集合中，给定集合内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。 扎德引人了隶属函数这个概念，用隶属函数来描述清晰与模糊之间的差异过渡，这是精确性对模糊性的逼近，也是数学中惯用的手段和思想。,3. 模糊数学与经典数学的根本区别,例如我们说“张三性格稳重”，这是一个模糊概念，

7、它的外延是不分明的。 首先就要问什么是“性格稳重”？人们在头脑中鉴别这个模糊概念时，并不需要作绝对的肯定和否定。 所要求的只是张三对“性格稳重”这个概念符合到什么程度？ 这种程度可以用0，1闭区间的一个实数去度量它，这个数便是“隶属度”，如果它依变量x的不同而改变则叫它“隶属函数”，它可以用客观的方法确定，但也可以凭经验判断。 假如我们按某种原则确定“张三性格稳重”的程度为0.8，这也就是说张三(记作x)对于“性格稳重”的隶属函数的值(或简称隶属度)为0.8。即,隶属函数是描述模糊性的关键,隶属函数在模糊数学理论中占有十分重要的地位，是对模糊现象、模糊概念所具有客观性的一种定量刻画。隶属函数的

8、确定无论从理论上还是实践中都是模糊数学及其应用的基本和关键问题。隶属函数的构造是有某种限定的，并不是主观任意捏造的。但是，在建立隶属函数时，又有一定的技巧。 以后将谈确定隶属函数的基本原则、步骤和常用方法。,3 模糊数学的发展历程,1960年柏克莱加州大学电子工程系扎德（L.A.Zadeh）教授，提出“模糊”的概念。 扎德（L.A.Zadeh），1965年发表关于模糊集合理论的论文, 提出关于模糊语言变量的概念 1966年马里诺斯（P.N.Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。 1971年，罗森菲尔德提出模糊代数结构、模糊线性空间、模糊群等概念。 1974年Mamdani(玛达尼)提出合

9、成模糊逻辑推理法， 1974年扎德进行了极大极小模糊推理法的研究.,模糊逻辑的应用（欧洲）,七十年代欧洲进行模糊逻辑在工业控制方面的应用研究： 实现了第一个试验性的蒸汽机控制； 热交换器模糊逻辑控制试验； 转炉炼钢模糊逻辑控制试验； 温度模糊逻辑控制； 十字路口交通控制； 污、废水处理等。,模糊逻辑的应用（日本）,列车的运行和停车模糊逻辑控制，节能1114%（1983）； 汽车速度模糊逻辑控制（加速平滑、上下坡稳定）（1985）； 港口集装箱起重机的小车行走和卷扬机的运行控制（1986）； 家电模糊逻辑控制（电饭煲、洗衣机、微波炉、空调、电冰箱等）（1988）。,模糊逻辑的应用（中国）,在模糊

10、理论和应用方面的研究起步较慢，但发展较快： 1976年 起步； 1979年 模糊控制器的研究； 1980年 模糊控制器的算法研究； 1981年 模糊语言和模糊文法的研究； 1982年 磨床研磨表面光洁度模糊控制； 1983年 开关式液压位置伺服系统模糊控制研究； 1984年 提出语义推理的自学习方法； 1986年 单片微机比例因子模糊逻辑控制器； 1987年 我国第一台模糊逻辑推理机；,模糊逻辑的应用（中国）,1990年起： 工业控制模糊逻辑控制器：玻璃窑炉、水泥回转窑、PVC树脂聚合过程、功率因数补偿等。 自然科学基金重大项目： “模糊信息处理与机器智能”，“模糊逻辑控制计算机系统”等。,目

11、前： 模糊逻辑控制技术在工业控制、家电领域有很好发展； 模糊信息处理方面的基础研究和理论研究； 开发专用模糊控制电路和模糊推理芯片等。 模糊网络测量 模糊IDS (入侵检测系统）,模糊逻辑的应用（中国）,模糊逻辑的研究历程,模糊理论一产生就在数学领域本身及其他领域得到了广泛的应用。 模糊数学有着十分丰富的研究内容，到目前为止，经典数学这个大平台上的许多理论分支学科已经被模糊化。成为模糊数学理论体系的组成部分。如模糊关系，模糊矩阵，模糊变换，模糊拓扑空间，模糊图论，模糊概率统计，模糊线性规划和模糊逻辑，模糊博弈等。并且模糊数学的思想方法随着科学的发展，科学研究系统的扩张继续强劲有力地向着经典数学

12、领域不断地延拓和滲透。,4 模糊数学的研究内容,模糊关系 模糊矩阵 模糊变换 模糊拓扑空间 模糊图论 模糊概率统计 模糊线性规划 模糊逻辑 模糊博弈.,走了，去模糊数学的乐园了！,丰富的研究内容:,一、模糊逻辑是模糊理论中的重要研究方向,它的最大成功是其在控制论中的应用。但是，模糊逻辑在理论上的研究还远远不够深深入，也没有形成自身独有的理论体系，其研究的思路基本上还是沿着二值逻辑的体系来展开的，所以难免要受到一些学者的怀疑或疑惑。 第一次在公开场合表达这一观点是在1993年7月召开的美国第十一届人工智能的年会上美国学者CElkan在会上做了一篇题为“The Paradoxical Succes

13、s of Fuzzy Logic(模糊逻辑似是而非的成功)”的报告，引起了与会者的极大兴趣。,随后，杂志“IEEE Trans. On Expert Systems and Applications”组织包括像L.A.Zadeh，E.H.Mamdani，D.Dubois，H.Prade以及我国的汪培庄等十余位著名学者的评论和讨论。讨论包括了C.Elkan博士所涉及到的“模糊控制为什么会成功”，“模糊集理论在模糊控制中到底起到了什么作用”以及“模糊控制器到底是什么”等论点。展开这类讨论无论是对模糊逻辑还是对模糊数学本身的发展都是非常有益的，这是模糊逻辑强大生命力的表现，同时也进一步促进这一领域学

14、者们从理论上更深人系统地研究相关的论题。,目前，模糊可靠性的研究主要集中在下列几个方面: 第一，各种模糊可靠性的计算方法的研究； 第二，随机系统的模糊可靠性； 第三，模糊故障树分析； 第四，人机混合系统的可靠性问题。 但是，模糊可靠性理论仍处在发展阶段，也未达到成热的水平，而且这项技术的成功与否应以工程实例验证为前提，所以，这个领域很多理论与实际问题的圆满解决还有待广大学者的共同努力。,二、模糊神经网络(FNN),近年来模糊理论中受到普遍重视的另一个方面是模糊神经网络(FNN)，它是模糊理论同神经网络相结合的产物，它汇集了神经网络与模糊理论的优点，集学习、联想、识别、自适应及模糊信息处理于一体

15、。1987年，BKosko在文献22中率先将模糊理论与神经网络有机结合进行了较为系统的研究。在这之后的短短几年间，FNN的理论及应用得到了飞速的发展，各种新的FNN模型的提出及与其相适应的学习算法的研究不仅加速了FNN理论的完善，而且在模型识别、系统预测、模糊控制、图像编码以及模式识别等领域都有成功的应用。,模糊神经网络(FNN)的理论研究方面虽然取得了一系列成果，但面临的问题仍然很多，如： 怎样利用FNN来处理带有畸变的模糊信息? 这其中又如何引进合适的模糊信息间差异的度量？ 模糊FNN如何程序化？ 各种FNN的学习算法如何设计、优化；稳定性能如何？等等这些都有待于广大学者去努力。 总之，在

16、FNN的研究中，对其各个方面展开全面的探讨并将其系统化，理论化，这是一个必不可少的环节。,5 模糊数学在中国的发展与应用范围,模糊数学诞生至今已经四十年了。 1976年传人我国后，得到了迅速发展。 1980年成立了中国模糊数学与模糊系统学会。 1981年创办模糊数学杂志(武汉，华中工学院)。 1987年创办模糊系统与数学杂志(长沙，国防科技大学)。 我国已经成为模糊数学研究的四大中心(美国、欧洲、日本、中国)之一。,在西南交大设立国际模糊数学研究院的分支学术机构，可以使用国际模糊数学研究院的标志和冠以国际模糊数学研究院的名称。这是西南交大与国际接轨的又一个重要成果，为在模糊数学领域参与国际合作

17、与竞争创造了有利的条件。 国际模糊数学研究院(IFMI)是一个国际学术机构，总部设在美国洛杉矾、已在全世界一些在科学领域内取得显著成果的国家和单位建立了若干个研究中心和研究实验室。,模糊数学的应用几乎涉及到国民经济的各个领域与部门。 特别值得一提的是，模糊理论在智能计算机的应用与开发上将起到重要作用。模糊评判决策在工程管理、经济管理、农林业中也有广泛应用。 20世纪80年代以来，空调器、洗衣机等家用电器中已广泛采用了模糊控制技术。（日本走在了前列） 我国也于20世纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。 西南交通大学研制了电烤箱、热水器模糊控制器，其中后者已通过鉴定，并开始投入市场；两项成果

18、获国家专利。,6怎样学习和应用模糊数学,模糊数学是一个新兴的数学分支。因为它具有较强的生命力和渗透力，所以它的出现不仅使数学的应用范围大大扩展，而且也对科学方法论带来了冲击，因此它的意义是十分深远的。 正如革命导师恩格斯所说：“社会一旦发现了技术上的需要，则这种需要就会比数十个大学更加把社会推向前进。” 由于模糊数学与传统数学方法不同，因此在学习模糊数学时，要注意： 它与精确数学、随机数学的差别，不要把隶属函数和概率混为一谈。,学习本课程的基础： 先修完高等数学、线性代数、概率论,模糊数学从诞生到现在也仅有几十年的历史，还远远 谈不到完善 ,这就更要求我们作更多的工作。,重要的是要密切联系实际

19、问题，从实际中吸取营养， 发展和丰富模糊数学的内容。,六、模糊数学的应用,一、模糊综合评判决策的应用： 、在农林经营决策中的应用 、在花卉适宜栽培地的决策中的应用 、在服装评判中的应用 、在积极分子排序中的应用 二、模糊聚类分析的应用 、在土壤分类中的应用 、在病虫害预测预报中的应用 、在经济市场动态模糊划分中的应用,模糊数学的应用几乎涉及到国民经济的各个领域与部门。,三、模糊模型识别 、在小麦亲本识别中的应用 、在细胞染色体形状识别中的应用 、在茶叶等级识别中的应用, 3040087 350604200,三、模糊数学的发展与应用范围,模糊数学诞生至今已经四近十多年了。 1976年传人我国后，

20、得到了迅速发展。 1980年成立了中国模糊数学与模糊系统学会。 1981年创办模糊数学杂志(武汉，华中工学院)。 1987年创办模糊系统与数学杂志(长沙，国防科技大学)。 我国已经成为模糊数学研究的四大中心(美国、欧洲、日本、中国)之一。 模糊数学的应用几乎涉及到国民经济的各个领域与部门。 特别值得一提的是，模糊理论在智能计算机的应用与开发上将起到重要作用。模糊评判决策在工程管理、经济管理、农林业中也有广泛应用。 20世纪80年代以来，空调器、洗衣机等家用电器中已广泛采用了模糊控制技术。（日本走在了前列） 我国也于20世纪90年代初在杭州生产了第一台模糊洗衣机。,. 计算机科学是模糊数学的摇篮

21、,没有电子计算机，就没有模糊数学。另一方面若没有模糊数学，电子计算机的应用也会大受限制。,人,计算机,对话,把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，,建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。,扎德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言 数量化、形式化。,就可以用从0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子” 的隶属程度。,把合乎语法的标准句子的隶属函数值定为1 ，那么，,其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，,现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能

22、力。 为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。 目前，模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。,. 隶属函数是描述模糊性的关键,大量的事实表明，许多事物过分地追求精确反倒更模糊，适当地模糊反而可以达到精确的目的。 而其关键在于应如何寻求适当的数学语言来描述事物的模糊性。 扎德揣摩数学与人脑思维维究竟是从何处分离的？他发现了集合论实质上是扬弃了模糊性而抽象出来的，是把思维过程绝对化，从而达到精确、严格的目的。,即一个被讨论的对象或者具有某种性质，记作,或不具有这种性质，记作,决不允许模棱两可，,，两者必居其一，,从而忽略了x具有这种性质的程度上的差异。,

23、但是这种差异有时却是很重要的。,例如在医疗诊断中“四肢无力”这个症状，有的是在劳累后稍有疲乏感，而有的几乎却是瘫痪。 因此在医生处方时，必须考虑到“四肢无力”这个模糊概念的程度。 与集合论相对应的是二值逻辑，在二值逻辑中一个命题 (即一个意义明确的陈述句)或者为真，或者为假，也是两者必居其一。这种绝对的思维方法由来已久，虽然在历史上和现在都起了很大的作用，但是毕竟不能完全反映客观现实。 而一些著名的悖论 (即取真、假都出现矛盾的命题)，例如罗素 (Russell) 悖论、康托尔 (Contor) 悖论等等都是这种矛盾的反映，这些奇特的悖论出现，曾经使数学界发生过混乱，甚至使不少数学家悲观失望地

24、称为“第三次数学危机”。,为了寻求解决的方案，策墨洛 (Zermelo)提出了划分公理，但这样只是避开矛盾而没有解决矛盾。这些问题影响十分深远，例如计算机语言中的实型、整型概念就是这种矛盾的反映，而在数学界由此而导致了两个学派，至今仍在争论。 L.A扎德并没有介入这两个学派的争论，而是重新把模糊性和数学统一在一起，因为在现实生活中复杂事物要想绝对精确是不可能的，实际上也只是把所谓不准确程度降低到无关重要的水平罢了。 扎德充分注意到这一点，但他不是让数学放弃其严格性去迁就其模糊性，而是让数学回过头来吸取人脑对于模糊现象识别和判决中的优点，从而为数学的运用开辟了新的方向。 在扎德研究的模糊集合中，

25、给定集合内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。,查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。 隶属函数的引入，标志着模糊数学的诞生，因为它是描述模糊性的关键。,例如我们说“张三性格稳重”，这是一个模糊概念，它的外延是不分明的。 首先就要问什么是“性格稳重”？人们在头脑中鉴别这个模糊概念时，并不需要作绝对的肯定和否定。 所要求的只是张三对“性格稳重”这个概念符合到什么程度？ 这种程度可以用0，1闭区间的一个实数去度量它，这个数便是“隶属度”，如果它依变量x的不同而改变则叫它“隶属函数”，它可以用客观的方法确定，但也可以凭经验判断。 假如我们按某种原则确定“张三性格稳重”的程度为0.8，这也就是说张三(记作x0)对于“性格稳重”的隶属函数的值(或简称