2.运筹学-对偶理论敏感分析课件

1、1,线性规划 Linear Programming（LP）,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,2,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划对偶理论,3,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶问题？.,线性规划的对偶理论 对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？,4,线性规划 Linear Programming（LP）,引例俩家具制造商间的对话：

2、,唉!我想租您的木工和油漆工一 用。咋样？价格嘛好说， 肯定不会让您兄弟吃亏讪。,王老板做家具赚了 大钱，可惜我老李有 高科技产品，却苦于没有 足够的木工和油漆工 咋办？只有租咯。,Hi：王老板，听说 近来家具生意好惨了， 也帮帮兄弟我哦!,家具生意还真赚钱，但 是现在的生意这么好， 不如干脆把我的木工和油漆 工租给他，又能 收租金又可做生意。,价格嘛好商量， 好商量。只是.,王 老 板,李 老 板,5,线性规划 Linear Programming（LP）,王老板的家具生产模型： x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max z = 50 x1 + 30 x2 s.

3、t. 4x1+3x2 120（木工） 2x1+ x2 50 （油漆工） x1，x2 0 原始线性规划问题，记为（P）,王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min w =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 50 3y1+ y2 30 y1，y2 0 对偶线性规划问题，记为（D）,6,线性规划 Linear Programming（LP）,王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源，既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。

4、,7,线性规划 Linear Programming（LP）,例1 第一章例1煤电油，其线性规划问题为 将其称为原始问题，记为P,（P） max z = 7X1 + 12X2 s.t. 9X1+ 4X2 360 4X1 + 5X2 200 3X1 + 10X2 300 X1 ， X2 0,8,线性规划 Linear Programming（LP）,下面我们从另一角度提出一个新的问题。这时有另一家厂商提出要购买其煤、电、油全部资源，并希望花费尽量少。试建立购买者的线性规划模型。,（D） min w = 360y1 + 200y2 + 300y3 s.t. 9y1+4y2 + 3y3 7 4y1

5、+ 5y2 + 10y3 12 y1， y2， y3 0,这个问题我们将其称为原始问题的对偶问题，记为D,9,线性规划 Linear Programming（LP）,（P） max z = CX s.t. AX b X 0,（D） min w = Yb s.t. YA C Y 0,特点： （1）P为max型，D为min型 （2）P的变量个数=D的约束个数 （3）P的约束个数=D的变量个数 （4）P的目标函数系数=D的资源约束向量 （5）P的资源约束向量=D的目标函数系数 （6）P技术系数矩阵=D技术系数矩阵转置,这是最常见的对偶模型形式，称为对称式对偶模型。二者间具有十分对称的对应关系。,10

6、,线性规划 Linear Programming（LP）,对称形式下对偶问题的一般形式：,11,注：若P的某个约束为“=”型，则D的相应变量为自由；若P的某个变量为自由，则D的相应约束为“=”型。 见示例：,（P） max z = 7X1 + 12X2 s.t. 9X1+ 4X2 360 4X1 + 5X2 200 3X1 + 10X2 = 300 X1 ， X2 0,12,线性规划 Linear Programming（LP）,如何写出LP模型的对偶问题：,（1）若LP为Max型，则尽量化成(P)形式。(等式、自由变量除外),（2）若LP为Min型，则尽量化成(D)形式。(等式、自由变量除外

7、),（P） max z = CX s.t. AX b X 0,（D） min w = Yb s.t. YA C Y 0,13,线性规划 Linear Programming（LP）,非对称形式下对偶问题的一般形式 原始（对偶）对偶（原始）关系表,14,线性规划 Linear Programming（LP）,例2 写出下面线性规划问题的对偶规划模型：,max z = 2X1 + 3X2 s.t. X1+ 2X2 3 2X1 -X2 5 -X1 + 3X2 =1 X1 0,设对偶变量为y1,y2,y3，对偶目标为w，则,min z = 3y1+5y2+y3 s.t. y1+ 2y2-y3 2 2y

8、1 y2+3y2 =3 y1 , y2 0,15,线性规划 Linear Programming（LP）,练习：写出下面线性规划问题的对偶规划模型,min z = 2X1 + 3X2-5X3 +4X4 s.t. X1+ X2 -3X3+X4 5 2X1 +2X3-X4 4 X2 + X3 +X4 =6 X1 0 , X2 ，X3 0，X4无约束,16,线性规划 Linear Programming（LP）,线性规划的对偶理论 1 对称性原始问题与对偶问题是两个互为对偶的问题。 即（P）和（D）互为对偶。 2 弱对偶性两个问题的可行解对应的目标函数值互为上下界。设X、Y 分别为（P）、（D）的任

9、一可行解，则CX YB,17,3 解的最优性设X， Y分别为（P）和（D）的可行解，且CX =YB，则X=X*， Y=Y*。 4 对偶性若（P）有最优解，则（D）也有最优解，且二者最优值相等。,18,5 互补松紧定理 设X， Y分别为（P）和（D）的可行解，则X， Y是最优解 Y Xs = Ys X =0 ，其中Xs 、 Ys 为最优解中松弛变量部分。,19,Xn+1，- Xn+j，-，Xn+m,Ym+1，- Ym+j，-，Ym+n,原始问题的变量,原始问题的松弛变量,对偶问题的变量,对偶问题的松弛变量,XjYm+j=0， Yj Xn+j=0, 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0.

10、,20,在线性规划问题的最优解中，若对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式，另一方面，如果约束条件取严格不等式，则其对应的变量一定为零. 具体见p-70.,21,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶最优解的经济解释 我们已经明白原始线性规划与对偶线性规划之间形式上的对偶以及他们的解之间的关系，那么对偶问题的解除了前面引例中提到的租金这种经济含义外其深刻的经济含义是什么呢？,22,对偶最优解的经济解释：资源的影子价格(shadow price) CBB-1 ：对偶问题的最优解-买主的最低出价； 原问题资源的影子价格-当该资源增加1单位时引起的总收入的增

11、量卖主的内控价格。,23,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶问题解的经济含义分析： 从单纯形法的矩阵描述中，目标函数取值 Z = CBB-1 b ，和检验数 CN - CBB-1N 中都有乘子 Y = CBB-1。 设B 是 max Z = CX | AX b，X 0 的最优基矩阵，由强对偶定理知 Z* =CX*= CBB-1b=Y*b=W* 由此, Z* b, Z* bi,（ Y*b） bi,= CBB-1= Y* 或,=,= yi*,24,例：（煤电油例）的单纯形终表如下,请指出资源煤电油的影子价格，并解释其经济意义。,25,线性规划 Linear Program

12、ming（LP）,由上面分析对偶问题解中变量 yi* 的经济含义是在其他条件不变的情况下，单位第 i 种“资源”变化所引起的目标函数最优值的变化。所以， yi* 描述了原始线性规划问题达到最优时（各种“资源”都处于最优的配置时），第 i 种“资源”的某种“价值”，故称其为第 i 种“资源”的影子价格。这正是经济学中机会价值的含义。,26,影子价格在管理决策中的作用： （1）影子价格市场价格。若影子价格市场价格，则应买进该资源；若影子价格市场价格，则应卖出该资源。 （2）影子价格反映了资源的稀缺性，影子价格越高，则越稀缺。,27,线性规划 Linear Programming（LP）,影子价格的

13、特点： 影子价格是对偶解的一个十分形象的名称，它既表明对偶解是对系统内部资源在当前的最优利用配置下的一种客观估价，又表明它是一种虚拟的价格（或价值的影象）而不是真实的价格。 特点1、影子价格是对系统资源的一种内部最优估价，只有当系统达到最优状态时才可能赋予资源这种价值。 特点2、系统资源的一种动态价格体系，影子价格的大小与系统的价值取向有关，并受系统状态变化的影响。系统环境的任何变化都可能会引起影子价格的变化。,28,线性规划 Linear Programming（LP）,特点3、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度。如果某种资源在系统内供大于求，尽管它有实实在在的市场价格，但它在系

14、统内的影子价格却为零，而影子价格越高，资源在系统内越稀缺。 特点4、影子价格是一种边际价值，其与经济学中的边际成本的概念相同。因而，在经济管理中十分重要的应用价值。企业管理者可以根据资源在企业内部的影子价格的大小决定企业的经营策略。 特点5、对偶解准确的经济意义与线性规划模型的构造方法有关，模型构造方法的不同有时会导致对偶解的不同经济解释。,29,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶约束的经济解释-机会成本,s.t. a11x1 + +a1j xj+ + a1n xn b1 am1x1 + +amj xj + + amn xn bm x1 , , xn 0,Max z=

15、 c1x1 + + cn xn,y1 ym,机会成本a1j y1+ amj ym 表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润.,30,线性规划 Linear Programming（LP）,对偶松弛变量的经济解释-产品的差额成本,s.t. a11y1 + +aj1 yj+ + an1 ym ym+1 = c1 a1nx1 + +ajn xj + + anm xn ym+n= cn x1 , , xn 0,Min w= b1y1 + + bn yn,ym +j =(a1j y1+ amj ym)-cj 差额成本=机会成本-产品价格,31,线性规划 Linear Programming（LP）,互

16、补松紧关系的经济解释,Yj Xn+j=0, XjYm+j=0， 在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0. 在利润最大化的生产计划中： （1）影子价格大于0的资源没有剩余； （2）有剩余的资源影子价格等于0； （3）安排生产的产品机会成本等于产品价格； （4）机会成本大于产品价格的产品不安排生产。,32,线性规划 Linear Programming（LP）,灵敏度分析 任务：讨论模型的系数或变量发生小的变化时对解的影响（如它们在何范围内变化时可使原最优解或最优基不变？） 我们主要讨论C、b和变量结构变化时对解的影响。 对解的影响： 可行性：B-1b0 最优性： cj CB B-1 Pj

17、 0,33,1、b变化时的分析（只影响解的可行性）设第r 种资源brbr+（bb） 问题：b在何范围变化时，不影响最优基？ 方法：B-1b0（保证可行性）即B-1（b1, ，br+, ， bm)T 0解出即可.,34,2、C变化时的分析（只影响解的最优性,但分两种情况讨论）： （1）Cj是非基变量xj的价格系数 因只影响自己的检验数，为=cj + cj CB B-1 Pj ，故只要 0即可。 （2）Cj是基变量xj的价格系数 这时要影响所有的检验数，为=cj-（c1, ， cj+ cj, , cm） B-1 Pj ，应由所有的i 0解的公共的 cj。,35,3、增加新变量时的分析 主要讨论增加

18、新变量xn+1是否有利。经济意义是第n+1种新产品是否应当投产，数学意义是xn+1是否应进基。 方法：计算xn+1的检验数n+1 =cn+1 CB B-1 Pn+1。 若n+10，则增加xn+1，即投产有利； 若n+1 0，则不增加xn+1，即投产无利。 经济意义： cn+1 CB B-1 Pn+1，即市场价格-机会成本,36,例：（煤电油例）的单纯形终表如下,（1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？（2）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是否值得接受？（3）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？（4）若现又考虑一新产品丙，其资源单耗为10，2，5，售价为6.5，问该产品是否可投产？,37,例：（煤电油例）的单纯形终表如下,（1）电的影子价格是多少？使最优基仍适用的电的变化范围为何？ 答：电的影子价格