高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

1、最新资料推荐慧诚教育 2017 年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1 集合一般地，把一些能够_ 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象_构成的集合 (或集 )，通常用大写拉丁字母a， b，c，来表示2 元素构成集合的 _ 叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a， b，c，来表示3 空集不含任何元素的集合叫做空集，记为?.知识点二集合与元素的关系1 属于如果 a 是集合 a 的元素，就说a_集合 a，记作 a_a.2 不属于如果 a 不是集合a 中的元素，就说a_集合 a，记作 a_a.知识点三集合的特性及分类1 集合元素的特性_ 、_、 _.2 集合的分类(1) 有限集

2、：含有 _元素的集合(2) 无限集：含有 _元素的集合3 常用数集及符号表示名称非负整数集 (自然数集 )整数集实数集符号nn* 或 nzqr知识点四集合的表示方法1 列举法把集合的元素_ ，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法1最新资料推荐2 描述法用集合所含元素的_表示集合的方法称为描述法知识点五集合与集合的关系1 子集与真子集图形语言定义符号语言(venn 图 )如果集合 a 中的 _元素子集都是集合 b 中的元素，我们就_(或说这两个集合有包含关系，称_)集合 a 为集合 b 的子集如果集合 a? b，但存在元素_(或真子集_，且 _，我们_)称集合 a 是集合 b 的真子集

3、2.子集的性质(1)规定：空集是 _的子集，也就是说，对任意集合a，都有 _(2)任何一个集合a 都是它本身的子集，即 _(3)如果 a? b， b? c，则 _(4)如果 a b， bc，则 _3 集合相等图形图言定义符号语言(venn 图 )如果集合 a 是集合 b 的子集(a? b)，且_ ，此时，a b集合相等集合 a 与集合 b 中的元素是一样的， 因此，集合 a 与集合 b 相等4.集合相等的性质如果 a? b， b? a，则 a b；反之， _.2最新资料推荐知识点六集合的运算1 交集自然语言符号语言图形语言由 _a b_组成的集合，称为a 与 b的交集2 并集自然语言符号语言图

4、形语言由 _ 组a b _成的集合，称为a 与 b的并集3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质a b_a b _a a_a a _a ? _a ? _a? b? a b _a? b? a b _4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_，那么就称这个集合为全集，通常记作_5 补集对于一个集合a，由全集u 中_ 的所有元素组成的集文字语言合称为集合a 相对于全集 u 的补集，记作 _符号语言?u a_图形语言3最新资料推荐典例精讲题型一判断能否构成集合1在“高一数学中的难题；所有的正三角形； 方程 x22 0 的实数解”中， 能够构成集合的是。题型二

5、验证元素是否是集合的元素1、已知集合ax xm2n2 , mz , nz .求证：（ 1） 3a ；（ 2）偶数 4k-2(kz) 不属于 a.2、集合 a 是由形如 m3n m z, n z 的数构成的，判断1是不是集合 a 中的元素 .23题型三求集合3x y21 方程组的解集是 ()2x 3y 27x 3a.b x， y|x 3 且 y 7 y 7c 3 ， 7d ( x， y)|x 3 且 y 72 下列六种表示法： x 1， y2 ； ( x， y)|x 1，y 2 ； 1,2 ； ( 1,2)； ( 1,2) ； ( x， y)|x 1 或 y2 2x y0，的解集的是 ()能表示

6、方程组x y3 0ab cd 4最新资料推荐3.数集 a 满足条件：若aa，则1 a a(a1)若 1 a，求集合中的其他元素 .1 a3xy z |xyz|m，用列举法表示集合m 为4已知 x，y，z 为非零实数，代数式 |x|y|z| xyz的值所组成的集合是。题型四利用集合中元素的性质求参数1 已知集合 s a， b， c 中的三个元素是abc 的三边长，那么abc 一定不是 ()a锐角三角形b 直角三角形c钝角三角形d 等腰三角形b2.设 a， br ，集合 1 ， a b，a 0， a，b ，则 b a _.3.已知 p x|2 x k， x n， kr ，若集合 p 中恰有 3 个

7、元素，则实数k 的取值范围是 _.4.已知集合 a x|ax2 3x 2 0.(1)若 a 是单元素集合，求集合a；(2)若 a 中至少有一个元素，求a 的取值范围5.已知集合 a 是由 0， m， m2 3m2 三个元素组成的集合，且2 a，则实数 m 的值为 ()a 2b 3c 0 或 3d 0 或 2 或 36 (2016 浙江镇海检测 )已知集合 a 是由 0， m，m2 3m 2三个元素构成的集合，且2 a，则实数m_.题型五 判断集合间的关系1、设 mk1z , nk1，则 m 与 n 的关系正确的是（）x x, kx x, k z2442a. m=nb. mnc. mnd. 以上

8、都不对5最新资料推荐2判断下列集合间的关系：(1)a x|x 3 2 ， b x|2x 50 ；(2)a x z | 1 x3 ， b x|x |y|， y a 1n 1p13已知集合 m x|x m6，m z ，n x|x23，n z ，p x|x26，p z ，试确定 m ，n，p 之间的关系 .题型六求子集个数1已知集合a x|ax2 2xa 0，a r ，若集合 a 有且仅有2 个子集，则 a 的取值构成的集合为_题型七利用两个集合之间的关系求参数1.已知集合a 1,2 ， m3 ， b 1 ， m ， b? a，则 m_.2 已知集合a1,2 ， b x|ax 2 0 ，若 b? a

9、，则 a 的值不可能是()a 0b 1c 2d 33设集合a x| 2 x5 ， b x|m 1 x2m 1.(1) 若 b? a，求实数 m 的取值范围；(2) 当 xz 时，求 a 的非空真子集个数；(3) 当 xr 时，不存在元素x 使 x a 与 x b 同时成立，求实数m 的取值范围6最新资料推荐题型八集合间的基本运算1下面四个结论：若a (ab)，则 aa；若 a (ab)，则 a(a b)；若 a a，且 a b，则 a (ab)；若 a b a，则 a b b.其中正确的个数为 ()a 1b 2c 3d 42 已知集合 m x| 33 ，则 m n()a x|x 3b x| 3

10、 x 5c x|30 ，则 st ()a 2,3b (， 2 3， )c 3， )d (0,2 3， )5 下列关系式中，正确的个数为() (m n)? n； (mn)? (m n)； (m n)? n；若 m? n，则 m n m.a 4b 3c 2d 16设 u 0,1,2,3 ， a x u|x2 mx0 ，若 ?u a 1,2 ，则实数m _.7 (2016 唐山一中月考试题)已知全集u x|x 4 ，集合 a x| 2x4 ， b x|6 x6 ，求 a (a b)和 b (b a)9最新资料推荐知识点一函数的有关概念知识点二两个函数相等的条件1定义域 _2 _完全一致知识点三区间的

11、概念及表示1 一般区间的表示设 a， br ，且 ab，规定如下：定义名称符号数轴表示 x|a x b闭区间 x|axb开区间 x|a xb半开半闭区间 x|aa x|x a x|xa符号(， )a， )(a， )(， a(， a)知识点四函数的表示方法函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法知识点五分段函数如果函数 y f( x)， xa，根据自变量 x 在 a 中不同的取值范围，有着不同的_，那么称这样的函数为分段函数分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的_ ，值域是各段值域的_ 知识点六映射的概念设 a，b 是两个 _ ，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合 a 中的

12、_ ，在集合 b 中都有 _确定的元素 y 与之对应， 那么就称对应f：ab 为从集合 a 到集合 b 的一个映射知识点七函数的单调性1增函数、减函数：设函数f( x)的定义域为 i，如果对于定义域i 内某个区间d 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1) f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 d 上是增函数；当x1f( x2)，那么就说函数 f(x)在区间 d 上是减函数2函数的单调性：若函数f(x)在区间 d上是增 (减 )函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，区间 d 叫做 f(x)的单调区间3单调性的常见结论：若函数f( x)，g(

13、x)均为增 (减 )函数，则 f(x) g(x)仍为增 (减) 函数；若函数f(x)为增 (减 )函数，则 f(x)为减 (增 )函数；若函数 f(x)为增 (减 )函数，且 f(x)0 ，则 1 为减 (增)函数f x知识点八函数的最大值、最小值最值最大值最小值类别设函数 y f(x)的定义域为 i，如果存在实数 m 满足条件(1)对于任意的 x i，都有 _(1)对于任意的 x i，都有 _(2)存在 x0 i，使得 _(2)存在 x0 i，使得 _结论m 是函数 y f(x)的最大值m 是函数 y f(x)的最小值性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小 )值知识点九函数的奇偶性1

14、函数奇偶性的概念11最新资料推荐偶函数奇函数条件对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有f( x) f(x)f( x) f(x)结论函数 f(x)是偶函数函数 f(x)是奇函数2.性质(1) 偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称(2) 奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反(3) 在定义域的公共部分内， 两个奇函数之积与商 (分母不零 )为偶函数； 两个奇函数之和为奇函数； 两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零 )为奇函数例 1(2016 年 10 月学考 )函数 f(x) ln(x 3)的定义域为 ()a x|x 3

15、b x|x0c x|x3d x|x 3例 2(2016 年 4 月学考 )下列图象中，不可能成为函数y f(x)图象的是 ()1例 3已知函数 f(x) log3x， x1，则 f(f(3) _， f(x)的单调递减区间是 _ x2 2x 4， x 1，例 4(2015 年 10 月学考 )已知函数 f(x) x a|x a|， g(x) ax 1，其中 a0，若 f(x)与 g(x)的图象有两个2不同的交点，则 a 的取值范围是 _axx0 ，x1f(x2)，求 a 的取值范围例 5已知函数 f(x)满足对任意的a 3 x4a x012最新资料推荐例 6 (2016 年 4 月学考改编 )已

16、知函数 f(x) 1 1 . x 1 x 3(1) 设 g(x) f(x 2)，判断函数 g(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 求证：函数 f(x)在 2,3)上是增函数例 7 (2015 年 10 月学考 )已知函数 f(x) ax 1 1 ， a r. x 1 x 1(1) 判断函数 f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 当 a2 时，证明：函数 f(x)在 (0,1)上单调递减1例 8(2016 年 10 月学考 )设函数 f(x)|x 1| a 2的定义域为 d，其中 a1.(1) 当 a 3 时，写出函数 f( x)的单调区间 (不要求证明 )；(2) 若对于任意的 x 0,2 d，

17、均有 f(x) kx2 成立，求实数 k 的取值范围13最新资料推荐一、选择题1函数 f(x) 12x1的定义域为 ()x 3a ( 3,0b ( 3,1c (， 3) ( 3,0d (， 3) ( 3,12下列四组函数中，表示同一个函数的是()a y 2x3与 y x 2xb y( x)2 与 y |x|c yx 1 x 1与 yx 1 x 122d f(x) x 2x 1 与 g(t) t 2t13若函数 y f(x) 的定义域为m x| 2 x 2 ，值域为 n y|0 y 2 ，则函数 y f(x) 的图象可能是 ()4已知 f(x)是一次函数，且ff(x) x2，则 f(x)等于 (

18、)a x1b 2x 1c x 1d x 1 或 x 15设集合a x|0 x 6 ， b y|0y 2 ，从 a 到 b 的对应法则f 不是映射的是()11a f： x y 2xb f： x y 3x11c f： x y4xd f： x y6x6已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且f( 1) g(1) 2， f(1) g( 1) 4，则 g(1) 等于 ()14最新资料推荐a 4b 3c 2d 17若函数 y ax 1 在 1,2 上的最大值与最小值的差为2，则实数 a 的值为 ()a 2b 2c 2 或 2d 08偶函数 f( x)(x r)满足： f(4) f(1) 0，且在区间

19、0,3与 3， )上分别递减和递增，则不等式xf(x)0的解集为 ()a (， 4) (4， )b (， 4) ( 1,0)c ( 4， 1) (1,4)d (， 4) ( 1,0) (1,4)二、填空题112x， x 0，9已知函数 f( x)若 f(a) a，则实数 a _.1，x0 的解集为 _11若关于 x 的不等式 x24x a 0 在 1,3 上恒成立，则实数a 的取值范围为 _三、解答题1 ax2的图象经过点(1,3) ，并且 g(x) xf(x)是偶函数12已知函数 f(x) x b(1) 求函数中 a、b 的值；(2) 判断函数 g(x)在区间 (1， )上的单调性，并用单调

20、性定义证明13已知二次函数f(x) ax2 2ax2 b 在区间 2,3 上有最大值5，最小值2.(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若 b1， g(x) f( x)mx 在 2,4上为单调函数，求实数m 的取值范围15最新资料推荐答案精析知识条目排查知识点一1确定的不同的全体2每个对象知识点二1属于2不属于?知识点三1确定性互异性无序性2 (1)有限个(2) 无限个3正整数集有理数集知识点四1一一列举出来2共同特征知识点五1任意一个a? bb? a x b x?aab ba2 (1)任何集合?a (2)a? a(3) a? c(4)ac3集合 b 是集合 a 的子集 (b? a)4如果 a

21、 b, 则 a? b，且 b? a知识点六1属于集合 a 且属于集合 b 的所有元素 x|x a，且 x b2所有属于集合 a 或属于集合 b 的元素 x|x a，或 x b3 ba b a a a ? a a b4所有元素u5不属于集合a?ua x|x u ，且 x?a题型分类示例例 1 d例 2 a a b， 2 b，则 a 2.16最新资料推荐例 3 4解析全集 u 2,3,4 ，集合 a 2,3 ， ?ua4 例 4a a ba， a? b. a 1,2 ， b 1 ， m,3 ， m2，故选 a.例 5b由 b 中不等式变形得( x2)( x 4)0 ，解得 x2，即 b (， 4)

22、 (2， ) a 2,3 ， a b (， 4) 2， )故选 b.例 6 c图中的阴影部分是 m p 的子集，不属于集合s，属于集合 s 的补集，即是 ?i s 的子集，则阴影部分所表示的集合是(m p)?i s，故选 c.例 7 a a x|1 3x 81 x|0x 4 ，b x|log 2(x2 x)1 x|x2 x2 x|x2 ， a b x|2x 4 (2,4 考点专项训练1 b集合 a x|1 x 5 ， z 为整数集，则集合 a z 1,2,3,4,5 集合 a z 中元素的个数是5，故选 b.22 c由 x 5x 6 0，解得 x 3 或 x2.故选 c.3 d4.c5 a?u

23、b 2,4,5,7 ， a(?ub) 3,4,5 2,4,5,7 4,5 ，故选 a.6 a因为全集u 1,1,3 ，2集合 a a 2， a 2 ，且 ?ua 1 ，a 2 1，a 2 3，所以或a2 2 3a2 2 1，17最新资料推荐a 21，由 a2 23， 得 a 1.a 23，由得 a 无解，2a 21，所以 a 1，故选 a.7 da x|x2 8x 150 3,5 ， b? a， b ?或 3 或5 ，若 b ?时， a 0；若 b 3 ，则 a 1； 3若 b 5 ，则 a 15.故 a 1或1或 0，故选 d. 3 528 d集合 a x|x 16 x|x 4 或 x 4

24、， m 4 或 m 4，实数 m 的取值范围是( ， 4 4， )，故选 d.9 1,210 01解析a 1 ，a ， x(x a)( xb) 0，解得 x 0 或 a 或 b，若 a b，则 a 0， b1.11 4解析全集 u x z| 2 x 4 2， 1,0,1,2,3,4 ， a 1,0,1,2,3 ， ?ua 2,4 ， b? ua，则集合 b ?， 2 ， 4 ， 2,4 ，因此满足条件的集合 b 的个数是 4.12 1， )解析由 x2x0，解得 0x0) ，a? b， a 1.13 3， )解析由 |x 2|a，可得 2 ax0) ，18最新资料推荐 a (2 a,2 a)(

25、a0) 由 x2 2x 30，解得 1 x1 时， f(x)递减， f(x)在 1， )上递减例 4 (0,1)x， xa，解析由题意得 f(x) 在平面直角坐标系内分别画出 0a1 时，函数 f(x)， g(x)的a，x a，图象，由图易得当f(x)， g(x)的图象有两个交点时，20最新资料推荐0a1，有解得 0aa，a 的取值范围为0a1.例 5解由题意知， f(x)为减函数， 0 a1 且 a 30 且 a0 (a 3) 0 4a，1 0 a 4.例 6 (1)解 f(x) 1 1 ，x 1 x3 g(x)f(x 2) 1 1 ，x 1 x 11 1 g( x) x 1 x 1 1 1 g(x)，x 1 x 1又 g(x)的定义域为 x|x 1 且 x 1 ， y g(x)是偶函数(2) 证明设 x1， x2 2,3)且 x1 x2，1111f(x1) f(x2) (x1 1x1 3) (x2 1x2 3)2 x1 x2 x1x2