计算结构力学第二章

1、.,第二章 功能原理,计算结构力学,.,1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。 2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。 3、处理单元荷载。 4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。 5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的等价性。,2-1 概述:学习功能原理的目的,一、基本知识,.,1、静力加载(比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能。 3、功能方程(前提：静力加载；

2、无耗散功Q=0)：在微小的t 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：W=U。 4、总势能：结构的形变势能+荷载势能 =U+V,二、先修有关概念,.,1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功 W*=F u* (1) 虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。,2-2 虚位移原理,一、几个概念,.,4、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功)。 式中： ：力F所引起的应力(力态)； *：虚位移u* 所引起的虚应变(虚设的位移态)。

3、,(2),.,虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功W*等于虚变形功U* (虚应变能，内力虚功)。 研究对象：实际的力态。 虚 设：位移态(满足变形协调条件)。 于是，虚功原理可表述为： 体系平衡 W*=U* (3) 其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。,二、虚位移原理及其证明,.,证明： 以最简单的杆件结构为例，如图： 杆端力：结点对单元的作用力。 结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。 杆端力和结点力是作用力和反作用力。 对结点1，由平衡条件 X=0:P1-F12=0 对结点2，由平衡条件 X=0:P2-F21-F23=0,(4),.

4、,外力虚功为： 式中： 表示微小，* 表示虚设。 虚应变能为：,.,注意:虽然是就上述特殊情况进行的证明，但可推广到其它的受力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。,.,关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设)的几何可能上； 3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。,.,2-3 虚应变能与外力虚功,利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能U*和各种荷载的外虚功W*，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表达式。,一、虚应变能,.,这里，“*”表示

5、“虚设”，为一阶变分算子，“”与“d”的运算规律相同，意义类似，亦可看成是“微小”。 3、虚应变能(内力虚功),1、虚位移,2、虚应变,忽略剪切应变,(5),(6),.,1）、轴向拉压 实际的力态x；虚设的位移态u*，所引起的虚应变为,(7),.,2）、弯曲 实际的力态Mz；虚设的位移态,则,(8),.,对于三维应力状态。设实际的力态为： 虚设的位移态为： 则虚应变能为: 对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：,(9),.,与前述单独变形的结果一致。,.,1、集中荷载情况 实际的力态Pi 虚设的位移态 则 2、分布荷载情况 实际的力态q(x) 虚设的位移态 则 3、既有1又

6、有2的情况，则W*为1与2之和。,(10),(11),二、外力虚功,.,2-4 虚位移原理的应用,应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。 虚位移原理的研究对象是实际的力态，实际力态的平衡关系以及实际力态中力与位移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态，此位移态一定要几何可能。,.,杆件位移态的几何可能条件,.,主要应用： 1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节重点介绍； 2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请参考结构力学教程，运用中应特别注意u*、 v*为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种位移应独立无关。,.,式中h2i称为转移系数，具体可求出。现求：仅当发生变形e2时，求相应的i(如图

7、)。 为此，可虚设此位移态，则力态的外力在此位移态上的外力虚功为： W*=Pii,虚位移原理应用举例 设仅有Pi=1时，在单元中引起的内力的h2i；则由于为线性结构，当为Pi时， 中内力为 F2=h2iPi (12),1,i+1,.,虚变形功为： U*=F2e2=h2iPie2 由虚位移原理 W*=U* 便有 Pii=h2iPie2 最后得 i=h2ie2 (13) 这就是应用虚位移原理的实例。,.,即当单元有单位变形时，未知量i方向上的位移亦为h2i，因此可说系数h2i是把Pi“转移”为中内力F2的系数，或者说是把单元的变形“转移”为i方向位移的系数。这是很重要的概念 (逆步变换的概念)，反

8、映了结构本身的属性。,.,力和位移、应力和应变均称为结构分析中的对偶参数，本节主要完善虚功的对偶性原理。 介绍虚力原理的目的： 导出柔度矩阵，作为在特殊情况下推导刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。 研究对象：实际的位移态。 虚设状态：任一静力可能的力态。,2-5 虚力原理简介,.,与外力虚功对应的是虚余功： (1) 与虚应变能对应的是虚应变余能： (2),.,弹性结构处于变形协调状态的必要与充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余能。即： (3) 其中：在任一静力可能的虚力态上。,虚力原理,.,2-6 能量原理,介绍结构在外力和在该外力所引起的位移及变形上的功能

9、情况。 主要内容包括 ：结构总势能，势能驻值原理和势能极小原理。 1、结构总势能的定义 以杆件为例=U+V=U-W(1),.,可知W是位移的二次函数；由于应变和位移是线性关系，故U亦是位移的二次函数。,（2） （3） （4）,.,.,3、势能极小原理 即：对于稳定平衡，真实位移总是使取极小值。(证明参见结构力学教程),.,.,.,2-7 互等定理,1、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力P1在由P2所引起的位移上所作的虚功等于力P2在由力P1所引起的位移上所作的虚功，即 P1T2=P2T1(1),.,.,在单个力的作用下，功的互等定理可表为 P112=P221（4）,.,求。 解：由功的互等定理：,例：已知,.,3.反力互等定理： 由功的互等定理亦可得到 r12=r21或k12=k21 上式中rij为反力影响系数，ki