机械零件的有限元分析_04.ppt

1、第二章 梁单元,如图所示，为一简单平面纯弯曲梁单元（只考虑弯曲，不考虑轴向变形）,位移边界条件（挠度、转角）：,定义位移函数：,将边界条件代入可得：,写成矩阵形式为：,求解上述矩阵方程为：,则位移函数可表示为：,因此，定义形函数为：,简化后得：,则位移函数可简化为：,梁单元在局部坐标系统中有：,形函数可变为：,引入一量纲变量：,称为自然坐标,则形函数变为：,那么，位移函数可进一步表示为：,梁的曲率为：,令：,称为应变矩阵,则：,梁的截面弯矩为：,正应力：,梁单元的应变能：,其中：,外力做功为：,所以，梁单元刚度矩阵为：,将 B 代入上式可得：,因此，梁单元刚度方程为：,例题1：如图所示，求中间

2、结点的挠度和转角以及两端点的反力与反力矩。,显然，将整个梁分成两个梁单元。,单元1与2的刚度矩阵分别为：,整体刚度矩阵为：,整体有限元方程为：,载荷和位移边界条件：,简化方程可得：,求解可得：,则反力及反力矩为：,例题2：如图所示，求挠度、转角以及反力。,可以分成两个梁单元，一个弹簧单元进行求解。,已知：,弹簧单元矩阵：,两个梁单元矩阵为：,整体有限元方程为：,边界条件：,边界条件代入有限元方程，简化后求解得：,再将求解结果代入有限元方程，可得反力。,如图所示，为一考虑轴向变形的平面弯曲梁单元。,这种梁单元相当于等截面直杆单元与不考虑轴向变形的纯弯曲梁单元的合成。,其单元刚度矩阵 为两单元的刚

3、度 矩阵叠加，即：,单元刚度方程为：,对于连续梁单元，只有两个自由度，即梁端弯矩，有：,其刚度矩阵为：,对于一端刚结，一端铰结，其铰结端没有弯矩，即：,则有：,将上述方程代入刚度矩阵可得其单元刚度矩阵为：,单元刚度方程：,如果梁上作用有分布载荷，如图所示：,应将分布载荷转换为作用于节点上的集中力与弯矩，用公式表示为：,当：,则：,所以：,同样，如图所示的分布力可以进行等效转换。,例题3，如图所示，求解悬臂梁右端弯矩与挠度，左端反力与反力矩。,解：很显然，要将均匀分布力进行等效变换，如下图所示:,其中：,有限元方程为：,力与位移边界条件为：,方程简化为：,求解可得：,相应节点力与力矩为：,悬臂梁

4、左端的反力和反力矩为：,平面问题中梁单元的坐标变换,按照两个坐标系中位移向量相等效的原则，可以推出坐标变换关系：,写成矩阵形式：,令：,称为坐标变换矩阵,平面梁单元的刚度矩阵为：,作用力矩阵为：,刚度方程为：,例题4，如图所示为一刚性梁框架，求解节点1和2的位移和转角。,解：题目求解主要有以下几个关键问题：,1、分布力通过形函数进行等效变换； 2、采用考虑轴向变形的弯曲梁单元； 3、梁单元必须将局部坐标系下的刚度矩阵变换为整体坐标系下的 刚度矩阵； 4、将各个梁单元的整体坐标系下的刚度矩阵组装成整体坐标系下 的整体刚度矩阵。,空间梁单元及其坐标变换,空间梁单元主要受轴向力、弯矩、扭矩的作用，如图所示，其整体刚度矩阵可由拉压杆单元、扭转杆单元、与平面梁单元合并而成。 其中：,为轴向位移，其刚度矩阵为拉压杆单元的刚度矩阵，即：,为扭转角位移，其刚度矩阵为扭转杆单元的刚度矩阵，即：,属于xoy 平面内梁纯弯曲情形，其刚度矩阵为：,属于xoz 平面内梁纯弯曲情形，其刚度矩阵为：,按照节点位移的顺序，经过组合，可得整体坐标系下空间梁单元刚度矩阵为：,空间梁单元坐标变换,按照位移向量等效原则，对于节点1有：,对于节点2有同样的矩阵表达式,其中：,称为节点