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文档简介

1、积 分 的 应 用,不定积分的应用,定积分的应用,第四章,微分方程,学习重点,微分方程的概念,一阶微分方程的求解,微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程。如：,等,特点： 和 可以不出现，但 的导数一定要出现。,微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数。,上面三个微分方程的阶数分别是二阶、一阶、三阶。,微分方程的解：满足微分方程的函数。,特解：满足微分方程且不含任意常数的函数。,通解：满足 阶微分方程且含 个独立任意常数的函数。,微分方程的概念,课堂练习P175 1及2题,例：对微分方程：,即：,是它的解，且是通解。,若给定条件：,则可得特解：,也是一特解，但不含于通解中，特别

2、地称为奇解。,称为初始条件。,微分方程的概念,又如：对于微分方程,容易验证,都是微分方程的解。,通解或特解？,特解,特解,通解,既非特解也非通解,既非特解也非通解,即,例1. 验证下列所给函数是所给微分方程的解：,解,解,因为,所以,一. 可分离变量的微分方程,求解方法：两边同时积分,一阶微分方程,求解方法：两边积分,一. 可分离变量的微分方程,一阶微分方程,两边积分，得,因此，形如 的微分方程的求解方法是：,两边直接积分，得解为,解 原方程可变形为（分离变量）,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,两边积分，得,所以，原方程的通解为,（隐函数形式）,解 原方程可变形为,例2. 求下列微分方程

3、的通解或特解：,即,两边积分，得,所以，原方程的通解为,解 原方程可变形为,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,两边积分得,即,得,所以，原方程的通解为,解,将初始条件代入，得特解：,例2. 求下列微分方程的通解或特解：,原方程可变形为,两边积分,（课堂练习）,且线段 PQ 被 Y 轴平分，曲线过点 求该曲线方程。,解：由题设及导数的几何意义，得微分方程：,由曲线过点,（这是一个多值函数）,曲线方程为,可将其改写成,对一阶线性齐次微分方程,这是一个可分离变量的微分方程。,这是（2）的通解。,二. 一阶线性微分方程,一阶微分方程,（2）的通解是：,猜想（1）的解是：,则,即,这种方法称作 常数

4、变易法。,故（1）的通解是：,（2）的通解是：,（1）的通解是：,非齐次线性微分方程的通解 = 非齐次的特解 + 对应齐次的通解 线性微分方程解的结构，称为叠加原理。,解 这是一个一阶线性微分方程，方程的通解为,例4 求解下列微分方程,通解公式,（1）,解 原方程的通解为,例4 （2）,凑微分,解：将原方程化为,例4,则方程的通解为,（课堂练习）,解：将原方程化为,例4.,变通公式,原方程的通解为,解：原方程可化为,例4 （5）,公式的变通：如果微分方程为,则方程的通解为,则方程的通解为,（课堂练习）,型,可降解的高阶微分方程,求解方法：连续积分n次。,例5 （1）求解微分方程,解 由原方程积分得：,再积分得,再积分得,再积

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