柯西不等式的证明和应用

1、摘要：柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它在不同的领域里有着不同的表现形式，在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，其证明的思维方式灵活多样.虽然它在各个分支的表现形式不同，但各种形式相互渗透着内在的联系，它们间的相互转化显示出数学内部结构的和谐美和统一美.本文归纳总结了它的几种类型，列举了它在初等代数研究、数学分析、高等代数、复变和概率论中的一些形式，证明方法和应用， 所有这些都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.关键词： 柯西不等式， 证明，联系，应用 abstract: .cauchy inequality in mathematics is a very impor

2、tant inequality, which in different fields has different forms. cauchy inequality has an extremely wide range of applications in every branch of mathematics and proving. it has many branches of different forms, but all forms of infiltration of intrinsic link shows the harmony and beauty of mathemati

3、cs. this article summarizes its several types, proofs and applications in the elementary algebra research, mathematical analysis, advanced algebra, complex variables and probability theory in some form, proof methods and applications, all of which fully embody the mathematical connection of between

4、fields, penetration and uniformity.key words:cauchy inequality,proving, contaction, application目录1.引言2柯西不等式的形式和证明2.1柯西不等式在初等代数研究中的形式和证明2.2柯西不等式在数学分析中的形式和证明2.3柯西不等式在高等代数中的形式和证明2.4柯西不等式在复变中的形式和证明2.5柯西不等式在概率论中的形式和证明3.柯西不等式每种形式间关系4.柯西不等式的应用总结参考文献感谢1. 引言柯西不等式是大数学家柯西(cauchy) 在研究数学分析中“留数”问题时得到的, 因而被命名为柯西不等

5、式.柯西(cauchy, 17891857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职.由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒.他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上，他被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，以分析教程（1821年）和关于定积分理论的报告（1827年）最为著名.他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究, 并获得了许多重要成果, 著名的柯西不等

6、式就是其中之一,但从历史的角度看, 该不等式应当命名为cauch - buniakowsky - schwarz不等式.因为这一不等式是由后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之, 并应用到近乎完善的地步.2. 柯西不等式的形式和证明柯西不等式在初等代数研究中的形式当且仅当存在不全为零的常数k使时，等号成立（）证 这定理在或时明显成立，所以在该证明中 不妨设中至少有一个不为零，中也至少有一个不为零。构造实变量二次函数 因为所以恒成立因为即当且仅当 （）时等号成立2.2数学分析中柯西不等式的形式，有当且仅当存在不全为零的常数, 使时,等式成立. 证 设 =所以 判别式即所以 2.3高等代数中柯西

7、不等式的形式对于任意的向量,有当且仅当存在不全为零的常数 , 使时,等式成立. 证 当时，显然成立.以下设.令是一个实变数，作向量,由可知，不论取何值，一定有.即.则 判别式,即.从而,所以.当,线性相关时，等号显然成立.反过来，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者，或者,也就是说,线性相关.2.4复变中柯西不等式的形式.证 在复平面上取向量所对应的复数为，拒向量的加法法则，我们有，.设，则从余弦定理有.因为 ,所以 . （1）当且仅当或时，即三点共线时，等号成立.在中，同理可推得. （2）所以公式4得证.不等式（1）（2）的本质反映了空间三个点两两形成的距离之间的关系.2.5概率论中柯

8、西不等式的形式随机变量,，若存在,则有 .当且仅当存在不全为零的常数 使时,等式成立.证 设事件的方差用表示,因为,所以.同理可得.因此有.所以.3. 柯西不等式每种形式间的关系柯西不等式的各种表示不仅形式优美对称，而且各种形式相互渗透着内在联系，它们间的相互转化更显示出数学内部结构的和谐美和统一美.我们取,定义内积.在空间中， ，,定义内积.这样就由2.3的形式可推得2.1的形式和2.2的形式了.另一方面,对离散型随机变量,则, , .由2.5的形式得到，.即.则由2.5的形式得到2.1的形式.设连续型 , , 则, .由2.5的形式得，.则由2.5的形式得到2.2的形式. 设代入2.4形式

9、的（1）中化简得到.即由2.4的形式得到2.1的形式（当时）由上讨论可知,形式2.1、形式2.2只不过是形式2.3在不同向量空间中的具体表述,也只不过是形式2.5在不同测度空间中的具体表述.而形式2.3和形式2.5却更具有一般性和抽象性.它体现了代数与分析、概率与分析,高等数学与初等数学之间相互渗透,相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说:“数学是一有机整体,它的生命力依赖于各部分的联系.”它是我们进行“数学探究”的极好材料.对于培养学生的思维品质,领悟数学思想方法,认识知识间的联系,促进学生的创造性思维是非常难得可贵的.4. 柯西不等式的应用 柯西不等式是一个重要的不等式,灵活巧妙地应用这个不

10、等式可使一些十分困难的问题迎刃而解,这个定理不仅能解决很多国内外数学竞赛试题及imo 试题中有关不等式问题, 而且对于解决某些常规问题都能起到意想不到的效果.例1 已知都是正数，求证.证明 构造两个数组： .利用柯西不等式有.即,所以.例2 （第22届imo试题）已知为内一点， ，点到的三边，的距离分别为，求证.证 由题设可知,要证结论成立，只要证.由柯西不等式知，上式显然成立.所以.柯西不等式的灵活运用，使得问题由繁化简，将高等数学与初等数学紧密联系起来.例3（高中联赛，1997）试问：当且仅当实数满足什么条件时，存在实数使得成立，其中，i为虚数单位，证明你的结论.解 将转化到实数范围内，即

11、 （1）若存在实数使（1）式成立，则.由柯西不等式有 （2）如果，由（1）可得，从而.与（2）矛盾，于是有. （3）反之若（3）成立，有两种情况：1. ，则取，,显然（1）式成立.2. ，记，则不全为0.不妨设，取，有, .易知（1）式成立.综上所述，所求的条件为.例利用柯西不等式推导空间一点到平面:距离公式.解 设是平面: 上任一点,则.那么,的最小值就是到平面的距离.由柯西不等式, 得,即.当且仅当平面时取等号.即点 到平面: 的距离公式是.有些问题,从表面上看不能应用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以运用柯西不等式来解.当一些不等式中含有的形式时，可以巧妙地应用柯

12、西不等式，使问题迎刃而解.例函数在上一阶可导，.证明.证 因为，及 ，则有 ，.，.从而，将上两式相加即证得.三角形的证明方法多种多样，然而利用柯西不等式证明会使证明会更加简洁.例 证明三角形不等式证 因为,所以 .有了三角形不等式，一些难以入手的不等式证明可以轻松攻破.例7 已知，求证：.证 因为, （1） , （2）（1）和（2）分别表示点与点及点的 距离，在中，,所以 .例8 已知求证.证 构造独立的随机变量，其分布律为,y，则,.由于，相互独立，根据柯西不等式知,所以.展开整理有.注意：在函数中利用柯西不等式解题的前提是有的问题本身不具有运用柯西不等式的条件, 我们只要改变一下多项式形

13、态结构, 认清其内在的结构特征, 就可达到利用柯西不等式解题的目的.例用柯西不等式解释样本线性相关系数在概率论与数理统计一书中，在线性回归中，有样本相关系数，并指出且越接近于1，相关程度越大，越接近于0，则相关程度越小.现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数.证 现记，则，由柯西不等式有，.当时，.此时，为常数.点 均在直线上， 当时，.即.而,为常数.此时，此时，为常数.点均在直线附近，所以越接近于1，相关程度越大.当时，不具备上述特征，从而找不到合适的常数，使得点都在直线附近.所以，越接近于0，则相关程度越小.结论柯西不等式在理论中占有很重要的地位, 充分灵活地利用柯西不等式, 会使解题更

14、加方便, 快捷.用高等的观点去研究初等数学是新世纪对中学数学教师高水平的要求, 教师是否具有较高的数学观点,是衡量教师数学素质的重要标准. 教师具有高的观点,就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系,把握教材的重难点;教师具有高观点. 就能从认知的角度,在知识的各部分渗透高等数学的观点,培养学生的创造性、批判性思维.作为将来从事中学数学教学的大学生,学好高等数学,使自己成为一名高素质的中学教师,是时代赋予我们的义不容辞的责任. 参考文献 余元希.田万海.毛宏德.初等代数研究（下册）m.北京:高等教育出版社,1988.2:409. 张千祥.柯西不等式的教学价值. 巢湖学院学报,2004,20(2):1