高中数学 第一章 导数及其应用 09 导数在生活中的应用学案（答案不全）苏教版选修

1、09 导数在实际生活中的应用【目标要求】1、能利用导数知识解决生活中的优化问题：（1）利润最大问题；（2）面积、体积最大问题；（3）费用最省（成本最低）问题；（4）长度最短问题2、掌握利用导数知识解决实际问题的解题步骤；3、通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题及其数学建模的能力【重点难点】重点： 利用导数知识解决生活中的问题；难点：建模（从实际问题中抽象出数学问题）、解模（利用数学知识解决问题）【典例剖析】例1、在经济学中，生产单位产品的成本称为成本函数，记为，出售单位产品的收益称为收益函数，记为，称为利润函数，记为(1) 如果，那么生产多少单位产品时，边际成本最低？(2) 如果，产品的

2、单价，那么怎样定价可使利润最大？例2、在边长为的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再将它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例3、如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为平方米CD(I)按下列要求写出函数关系式：设(米)，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式(II)求梯形部件ABCD面积的最大值OBA【学后反思】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）审题设参（关注变量）（2）建立变量之间的函数关系（关注定义域）（3）转化为函数在给定区间上的最值

3、问题，并作答【课后作业】 班级_姓名_1、周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 2、已知某厂生产某种产品x件的总成本为（万元），且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50万元，当产量定为多少 时总利润最大3、如图，将边长为的正六边形铁皮切去六个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，问这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大？ 4、有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割，焊接成一个长方形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）。有人应用数学知识作了如下设计：如图（1），在钢板的四个角处各切去一个小正方形后剩余部分围成一个

4、长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（2）（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积；（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积5、从甲城开往乙城的一列火车，每小时消耗煤的费用与火车行使的速度的立方成正比，已知当速度为20时，每小时消耗煤的费用为40元，其他费用每小时200元，问火车行使的速度为多大时，才能使火车从甲城开往乙城的总费用最少（已知火车最高速度为100）6、如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km，为了处理这三家的污水，现要在该矩形区域内（含

5、边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水厂，并铺设管道的总长度为ykm（1） 设，将y表示成的函数；（2） 请用（1）中的函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短例3答案解：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C作于E，(I)， 4分， 8分(说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)(II)(方法1)，令，则，10分令，(舍). 12分当时，函数在(0，)上单调递增，当时，函数在(，1)上单调递减，14分所以当时，有最大值， 答：梯形部件面积的最大值为平方米(方法2)， 10分令，(舍).12分当时，函数在(0，)上单调递增，当时，函数在(，1)上单调递减，14分所以当时， .16分答：梯形部件ABCD面积的最大值为平方