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1、第四章 资产组合选择与定价理论,第一节 资产组合选择理论 第二节 资本资产定价模型（CAPM） 第三节 套利定价模型（APT） 第四节 期权定价模型（OPT） 第五节 有效市场理论,第一节 资产组合选择理论 一、单一资产的风险和报酬计量 考虑B公司股票，现行价格为￥25，期末该股票价格和概率分布见下表： 根据上述资料,计算概率分布的均值(Mean)，用预期值表示：,B股票预期期末价格为： 0.120+O.222.5+0.425+0.230十0.140￥26.50。 预期报酬率为： 方差和标准差是反映概率分布离散程度的两个基本指标，方差通常的计算公式为: 根据均值的定义，上式可表述为: 标准差的

2、计算公式为： B股票的方差计算如下:,0.1(20-26.5)2+0.2(22.5-26.5)2+0.4(25-26.5)2+O.2(30-26.5)2+0.1(40-26.5)229 B股票的标准差为: 5.39 二、两资产组合的风险和报酬计量 考虑一资产组合由风险性资产x和y构成，它们的预期报酬呈正态分布，投资者投资在资产x上的比重为a，在资产y上的比重为b1-a，计算该资产组合的均值和标准差。 资产组合的预期报酬为: 预期报酬的均值为: 资产组合的均值报酬是各有价证券均值报酬的加权平均数，其权数是各有价证券的投资比重。 资产组合预期报酬的方差为: 然后展开得:,由于: 因此,两资产组合的

3、方差是两种资产报酬的方差乘上投资权数的平方,再加上两资产报酬的协方差。 协方差是用来计量两个随机变量相互变动程度的一个统计指标，如果协方差为正，随机变量的变化方向一致；如果协方差为负，它们的变化方向刚好相反。 例:考虑资产X和Y的报酬如下表:,为了简便起见，我们设资产报酬(Xi,Yi)各种状态的概率均为0.2，资产X的预期报酬为10,资产Y的预期报酬为8，它们的方差为: Var(x)O.2(0.11-0.10)2+0.2(0.09-0.10)2+0.2(O.25-O.10)2 +O.2(0.07-0.10)2+0.2(0.02-O.10)2 0.0076 Var(y)0.2(-O.03-0.0

4、8)2+0.2(0.15+O.08)2+0.2(0.02-0.08)2 +0.2(0.2-0.08)2+O.2(0.060.08)20.00708 资产x和y的协方差为: Cov(X,y)E(X-E(x)(y-E(Y) 0.2(0.01-0.10)(-0.03-0.08)+0.2(O.09-0.10)(0.15-0.08)+ 0.2(0.25-O.10)(0.02-0.08)+0.2(0.07-0.10)(O.20-0.08)+ 0.2(-0.2-0.10)(0.06-0.08)-0.0024 负协方差表明，资产X和Y的报酬按照相反方向变动。如果我们同时购买资产X和资产Y，组成资产组合，该资产

5、组合的风险小于单独持有资产x或资产Y的风险，因而该资产组合可导致部分投资对冲(hedging),降低投资风险。,为了说明这种投资分散化结果，假定投资者以初始财富的50投资在资产X上，以另外50投资在资产y上，该资产组合的风险和预期报酬计算为： E（RP）=aE（X）+bE（Y）0.50.10十0.50.089， Var(RP)a2Var(X)十b2Var(Y)+2abCov(X,Y) Var(RP)0.520.0076+O.52O.00708+20.50.5(-0.0024) 0.00247 计算结果表明，投资分散比虽然使资产组合的预期报酬比资产X的预期报酬稍有下降，但是资产组合的风险比资产X

6、和y都有大幅度下降。 相关系数 相关系数(the correlation coefficient)主要反映两个随机变量的相关程度，用符号rXY表示，定义为两个随机变量的协方差除上它们的标准差乘积，即:,如果两种资产的报酬是相互独立的，亦即它们的协方差为零，那么它们的相关系数为零；如果两种资产的报酬完全相关，其相关系数等于1; 如果两种资产的报酬完全负相关，其相关系数等于-1。相关系数的值域为： -1rXY1， 根据相关系数定义，我们得到协方差的另一个公式： Cov(X，Y)rXYXY 将上式代入资产组合的方差公式，有: Var(RP)a2Var(X)+b2Var(Y)+2abr XYXY 最小

7、方差资产组合是指方差(或标准差)变动对资产X投资比重变动为零的资产组合，也即在任何预期报酬水平上方差最小的资产组合。 由于b=1-a，资产组合方差Var(VP)为: Var(RP)a22X十(1-a)22Y十2a1-arXYXY 设一阶偏导数为零：,求解使方差最小的资产X投资比重，得： （1）完全正相关情况。设资产x和y的相关系数rXY1，资产x是资产y的线性函数，不管资产X的投资比重a如何变动，资产组合的预期报酬和标准差之间变动比率都为一常数。 E(RP)aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)a22X十(1-a)22Y十2a(1-a) XY Var(RP)aX十(1-a) y2 标

8、准差(RP)=aX+(1-a) Y (2)考虑完全负相关情况。设资产x和y的相关系数rXY-l。如果资产x和Y完全负相关，投资者可获得完全投资对冲。也就是说，如果资产x的投资比重a恰当，资产组合的方差为零,资产组合的均值和方差为：,E(RP)aE(X)十(1-a)E(y)， Var(RP)a22X十(1-a)22Y-2a(1-a) XY Var(RP)aX-(1-a) y2 (RP)=aX-(1-a)Y 值得注意的是，资产组合的方差有正负根。如果资产组合方差有正根，方差与均值之间的函数曲线为一正倾斜直线；如果资产组合方差有负根，方差与均值之间的函数曲线为负倾斜直线，最小方差资产组合的方差为零。

9、 E(RP) A rXY=-1 C -1 rXY 1 rXY=1 0 B (RP),三、两风险资产的有效集：最优资产组合选择 最优资产组合的风险和报酬的边际替代率(MPS)等于其风险和报酬的边际转换率(MRT)。在最优资产组合点上，风险和报酬的边际替代率(MPS)和边际转换率(MRT)之间的均等性决定决策者的主观风险价格。 根据效用理论，风险回避投资者的无差异曲线在均值一方差平面上是向下凸的，下图反映了投资者的无差异曲线和两风险资产的投资比例变动所形成的资产组合选择凸集。 E（RP） V IV III II I C B A D 0 F （RP）,因为无差异曲线具有凹性，最小方差机会集的上半部分

10、具有凸性，所以，最优资产组合是惟一的。 有效集 假设投资者对机会集有齐次预期，亦即每个投资者都会获得相同信息，以便都能够精确地观察机会集，同时，假设不存在无风险资产，投资者有不同的无差异曲线，且反映他们不同的风险态度。 E（RP） III II I B A C D E F G 0 （RP） 有效集是对投资机会集进行均值方差选择所形成的子集，它是指在给定方差(或标准差)时没有其他投资机会超过其预期报酬的投资机会集。,四、无风险资产的引入 如果资产组合由两资产构成，G资产的方差为零，记为Rf，那么资产组合的均值和方差成为 E(RP)aE(X)+(1-a)Rf Var(RP)a2Var(X) 假设无

11、风险资产为Rf，其方差和与风险资产的协方差为零，资产组合的方差就简化为风险资产的方差。 E(RP) a1 V E X 借款 0a1 贷款 Rf Y a0 贷款和抛空 0 Z （X） 曲线VXY是线性的，因为其斜率不随着风险性资产X的投资比例变动而变动。,五、多项资产的最优资产组合选择 1三项风险资产的资产组合均值、方差和协方差 设资产组合由三项风险资产构成，让1、2、3分别表示三项资产的投资比例，E(R1)、E(R2)、E(R3)分别表示三项资产的预期报酬；12、22、32分别表示其方差；12、23、31分别表示其协方差；R1、R2和R3分别表示其随机报酬。 该资产组合的预期报酬可定义为： 根

12、据均值的持征，有： 三资产组合的预期报酬可以表示为各资产预期报酬的加权平均数。 三资产组合方差可定义为：,三资产组合方差是各资产方差的加权和，加上协方差项，即： 2.三风险资产的可行集和有效集 E（RP） A E*（RP） E F Rf B C 0 (X) 3N项风险资产的机会集和有效集 在风险报酬平面上，N项风险资产的投资机会集与两项风险资产的投资机会集具有相同的形状，所不同的是，N项风险资产的投资机会集考虑机会集曲线内的分布。,E（RP） A E*（RP） E F Rf B C 0 G (X) 从图中可以看出，投资机会集不仅可以由各种资产组合构成，而且还可能由单个资产构成。只要不存在无风险

13、资产，风险回避投资者都可以在机会集与最高无差异曲线的相切点使其预期效用最大化。 引入无风险资产后，假设借款利率等于贷款利率，任何风险资产都可以与无风险资产在坐标图上连接成一条直线，该直线表示由风险资产和无风险资产构成的资产组合。 投资者偏好该直线正倾斜部分RFE，该部分直线代表有效集。 考虑无风险资产时的有效集是线性的，在有效集中，E点上的资产组合是最优的。,第二节 资本资产定价模型（CAPM） 一、CAPM的基本假设 1、投资者通过预期回报率和标准差来评价投资组合的优劣； 2、投资者永不满足，相同情况下将选择较高预期回报率的投资组合； 3、投资者是厌恶风险的，相同情况下将选择具有较小标准差的

14、投资组合； 4、每一个资产都无限可分 ； 5、投资者可以以一个无风险利率贷出（即投资）或借入资金 6、税收和交易成本均忽略不计； 7、所有投资者都有相同的投资期限； 8、对于所有投资者，无风险利率相同； 9、对于所有投资者，信息是免费的并且是立即可得的； 10、投资者具有相同的预期,即齐次预期假设。,二、两基金分离原则与资本市场均衡 1、两基金分离原则 CAPM的假定保证了投资者不论是机构投资者还是个人投资者均用资产组合理论进行投资决策。 投资者的预期相同这个假定，保证了所有投资者在不存在无风险资产时的有效边界曲线相同。 无限制进行无风险利率借贷假定，就得到了所有投资者在存在无风险资产时面临的

15、有效边界相同的结论。 以上这些假定使所有投资者面临的有效边界是风险一收益平面上从Rf出发与有效边界相切的一条射线。 投资者最优决策方案的具体位置依赖于各自的无差异曲线。但不论其位置位于何处总是无风险资产RF和风险资产组合E的某个结合。 无差异曲线的不同只能导致这个组合含有的无风险资产与E的比例不同，其中含有的风险资产组合E与投资者的无差异曲线无关。,两基金分离原理：每个投资者的投资决策均可分离为某个风险资产组合和无风险资产的结合，他们决策的差异仅反映在结合中E与无风险资产的比例不同。 2、资本市场均衡 由于假定每个投资者都只考虑单一持有期的决策问题，并且他们的单一持有期都相同，故供给需求力量可

16、自动调节资产的价格，使资本市场达到自动均衡。 分离定理表明每个投资者持有相同的风险资产组合E，不再持有其他风险资产，故在市场均衡时，资本市场上任意风险资产在组合E中所占比例必为正数。 对于均衡市场而言，存在一系列市场出清价格，所有资产都被持有，任何资产的过剩需求等于零。 在证券市场达到均衡时，投资者在任一资产上的投资权数等于该资产的市场价值与全部资产市场价值之间的比例。,三、资本市场线（Capital Market Line，CML）,三、证券市场线（security market line, SML） 协方差版本： 贝塔版本： 为证券的贝塔系数（贝塔值），它表示了证券的相对风险大小。,贝塔系

17、数具有一个重要的性质：投资组合的贝塔系数是该组合中各证券的贝塔系数的加权平均数，权数即为各证券在组合中的比例。用公式表示为：,i是资产i的市场风险的一个测度，这种市场风险是不可分散的系统风险。 标准CAPM表明资产i的期望收益是系统风险i或相对风险im/2m的一个线性函数，它表明了资产的系统风险和投资者期望获得的收益之间的一种置换关系，这就是CAPM具有资产定价含义的表现。 在标准CAPM下的市场均衡时，系统风险决定资产的期望收益，非系统风险对决定资产的期望收益不起任何作用。 四、资本市场线与证券市场线的区别： 1、虽然CML与SML都通过市场组合和点（0，rf ），但CML与SML所使用的是

18、不同的坐标变量，CML描述的是有效组合自身的预期收益率与风险的均衡关系，而SML描述的是单一证券或证券组合与证券市场的相互关系。 2、证券市场线对资本市场上的每种资产都成立，故对任一资产组合都成立(不论其是否为有效组合)，而资本市场线仅对标准CAPM条件下的有效组合成立。,第三节 套利定价模型（APT） 一、单因素模型 因素模型又称指数模型（Index Models），是建立在证券回报率对各种因素或指数变动的敏感度这一假设基础上的。 单因素模型（One-Factor Models）的形式： t时期证券i的回报率， t时期因素的预期值 证券i对该因素的敏感性， 与因素F无关的因素的影响，在任何时

19、期均相同 随机误差项，是没有被因素解释的部分,单因素模型的参数估计： 单因素模型的性质： 证券i的预期回报率： 方差： 协方差：,市场模型： 市场模型下投资组合的表述 投资组合收益由定义等于下式： 将此式代入市场模型，则可将投资组合的收益重新定义为：,某一给定时期证券i的回报率； 相同时期市场指数I的回报率； 截距项； 斜率项，在证券I对市场指数的敏感性； 随机误差项。,可见，投资组合的收益由两部分所组成：（1）投资到每个证券基本特征上所产生的收益，式子的前部分；（2）投资到市场指数上所产生的收益。 二、双因素模型：,双因素模型的性质： 证券i的预期回报率： 证券i的方差为： 任意两种证券i和

20、j之间的协方差为： 三、多因素模型 预期回报率：,方差： 协方差： 四、因素模型与均衡 单因素模型与CAPM均衡模型参数之间有如下换算关系： 将单因素模型中的因素F看作市场组合的回报率 。 满足均衡定价的条件是：,单因素模型下的总风险分解： 证券i的总风险：,证券i因素风险,证券i非因素风险,组合的总风险,组合P因素风险,组合P非因素风险,市场模型下的总风险分解： 证券i的总风险： 组合的总风险：,证券i的市场风险及系统性风险,证券i的非系统性风险,组合的市场风险，即系统性风险,组合的个别风险，即非系统性风险,随着组合的分散化，将导致个别风险的减少和市场风险的平均化，进而使得总风险逐渐降低并趋

21、于市场风险水平,五、套利定价理论 1、假定： (1)投资者具有相同的预期； (2)投资者是风险厌恶型的和最大效用追求者； (3)市场是完美的，从而没有交易费用等不完美性。 2、APT的资产定价方程的导出 APT假定任何资产i的收益是由下列过程产生的： （5.1) 其中:ai,bi1，,bik是证券特定的常数,i是均值为零的误差项,，具有有限方差，rI记为因素j上的收益(时间下标被省略)。这里，假定cov(i，rIj)=0,和当ij时，Cov(i, j)0，这意味着任何证券与任何因素的误差项是不相关的，任何证券与其他不同的证券的误差项是不相关的。 对方程(5.1)两边取期望值得到：,(5.2)

22、从方程（5.1）中减去方程（5.2），并整理得： (5.3) 方程(5.3)即为套利定价模型。 该模型表明，具有相同因素敏感度的证券和证券组合应当具有完全相同的预期回报率，否则投资者将会发现套利机会。 如果套利机会存在，就会引起价格调整过程，一直将持续到市场套利机会消失为止。 套利定价理论显示，一项资产的期望收益是基于这项资产对各个因素的敏感性的集合。直觉上，一项资产的现行价格和期望收益是由这项资产对各种类型风险的敏感性确定的。,第四节 期权定价理论（OPT） 一、基本定义 1欧洲认购期权或看涨期权 设执行价格为K、到期期限为，则对资产x（市场价格）的欧洲认购期权是指其持有者享有的在时间按照价

23、格K购买资产x的权力。 其所提供的现金流量c(x，K，)可定义为 ： c 0 K X( ),2欧洲认沽期权或看跌期权 资产X的欧洲认沽期权是指其持有人享有的在时间按照价格K出售资产X的权力。 现金流量d(x,K,)可定义为: d 0 -d K x() 3美式认购期权或看涨期权 对资产x的美式认购期权是指其持有人在到期日及以前的任何时间t=0，按照价格K购买资产x的权力。,其现金流量C(x,K,)可定义为： ，若在t执行, ，若在t=执行 4美式认沽期权或看跌期权 对资产x的美式认沽期权是指其持有者享有的在任何时间t0按价格K出售资产x的权力。 其现金流量D(x,K,)为： ，若在t执行, ，若在t=执行 二、期权定价关系定理 定价关系定理1：c(x,K,),d(x,K,),C(x,K,),D(x,K,),对于t=0, ，-1,有： （1）,（2） 定价关系定理2：美式认购期权与欧洲认购期权的对等性。 C(x,K,)， c(x，K,), 若资产在到期之前没有现金流量，即对于所有t，则: 定价关系定理3：欧洲认购期权和认沽期权的对称性。 c(x,K,),d(x,K,), 若资产x在到期之前没有现金流量，即对于t,x(t,)0,则: 定理3表明，如果相关资产