模糊数学方法及其应用课件

1、1,第十一章 模糊数学方法及其应用,1 模糊聚类分析(参考内容),2 模糊模型识别(参考内容),2,模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。,前言,3,1965年美国控制论专家 L.A.Zadeh 提出这一概念后，模糊数学得到迅速

2、发展并应用到各个领域，地学种主要用于矿产资源评价，各种地质现象的分类、识别、决策和模拟。,在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊识别。,4,1 模糊聚类分析,模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对 分类对象进行定量分类的方法。,主要内容,数据标准化 建立模糊相似矩阵 动态聚类,一、数据标准化,1.原始数据 设论域U是n个被分类对象构成的集合,每个对象 又有m个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原始数据矩阵:,5,2.极差正规化,求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间0,1上，为此对原始数据进行极差正规化处理。,极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即,极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的

3、最小值再除以极差。变换公式为：,6,由上可知，对原始数据正规化处理以后，变量最大值为1，最小值为0，即新数据在区间0,1内。,二、模糊相似矩阵,模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介绍建立模糊相似矩阵的常用方法。,7,(1)数量积法,1.相似系数法,显然|rij|0,1 ,若rij0, 令rij=(rij+1)/2,则rij0,1。,其中,矢量或点: Xj=(xj1 xj2 xjm) Xi=(xi1 xi2 xim),i = j,ij,i , j=1,2,n,8,(2)夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。,(3)相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。,符号 和分别表示两个元素取小和

4、取大。,(4)最大最小法,例如:,9,10,(5)算术平均最小法,11,(6)几何平均最小法,12,2.距离法,上述(4)、(5)、(6)三种方法要求xij0,否则,要进行适当变换。,(1)绝对值倒数法,适当选取M，使得0rij1。,i = j,ij,i , j=1,2,n,(2)欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。,13,建立模糊相似矩阵的其他方法,就不再介绍了。,(3)切比雪夫距离,三、聚类,1.模糊等价矩阵,给定U上的一个模糊关系Rij=rijnn, 若它满足: (1)自反性(rij=1 )； (2)对称性(rij=rji )； (3)传递性( )； 则称R是U上的一个模糊等价矩阵。

5、,14,式中“”表示矩阵的合成运算，类似矩阵乘法运算，但要将元素的相乘改为求最小值、相加改为求最大值。例如:,矩阵乘法运算,矩阵运算,15,相似性度量的相关、相似系数矩阵满足自反性和对称性，但不一定满足传递性。 对于传递性,可先计算RR(记作R2),然后看其是否满足传递性。若不满足,经过RR=R2, R2R2=R4 运算,可将R改造成满足传递性的模糊等价矩阵。,2.模糊等价矩阵的截矩阵,设R=rijnn是模糊等价矩阵，对任意0,1，称 R=rij()nn为R=rijnn的截矩阵，其中:,16,将R中0.6的元素改为1,其它元素改为0,矩阵RR叫做R矩阵的截矩阵(0.6),17,3.分类 由模糊

6、等价矩阵的截矩阵可知,当rij=1时,i与j应为同类,否则为异类。 让由大到小变化，可形成动态聚类图。,18,对于不同的0,1，可得不同的分类方案，从而形成一种动态聚类图。这对全面了解对象的分类情况是比较形象和直观的。但有的实际问题需要选择某个阀值，确定一个具体的分类，这就是确定阀值的问题。,二、最佳阀值的确定,在动态聚类过程中，调整的值以得到适当的分类。另外，也可由熟悉专业的专家确定阀值，得到阀值水平上的分类。,1.按实际需要确定,19,设对应于的分类数为r，第j类的样品数为nj , j类的样本记为:,2.用F-统计量确定的最佳值,第j类的聚类中心为向量:,第j类中第k个变量的平均值:,20

7、,定义F-统计量为:,表征了类与类之间的距离,表征类内样品间的距离,F越大,表明类间的差异越大,分类效果就越好。,21,假设各类差异不明显，对于给定的检验水平，查F(r-1, n-r)分布表，得临界值F，若FF,则认为各类之间有明显的差异。,F服从自由度为r-1，n-r的F分布。,22,简单讲,模型识别就是根据研究对象具有的某些特征对其进行识别并归类。如采集的植物标本识别它属于哪个纲目;又如拨打电话号码识别对应的电话机。这种模型识别具有2个本质的特征:,2 模糊模型识别,一、基本概念,事先已知若干标准模型(称为标准模型库), 模型具有明显的界线;,1. 模型识别,有待识别归类的对象，并且它所属

8、的类必然是若干标准模型之一。,23,模糊模型识别是指标准模型库中的模型是模糊的(模型间没有明显的界线)。如据电测或气测资料,建立的储层含油气性(油层、油气层、油水同层、气层、含水油层、干层等)标准模型库,又如由不同沉积相岩样观测值构成的岩样标准模型库,它们中的模型都是模糊的。因此,根据测井信息或者岩样的观测值判断钻穿储层的含油气性、岩样的沉积相是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,对于这类模型识别问题，可据模型的界线对待识别对象进行归类，是标准集对标准集的识别。,2. 模糊模型识别,24,为了解决模糊集的识别问题，需要一个度量模糊集与标准模糊集靠近程度的指标，这就是下面要介绍的隶属度和贴近度。

9、,(1)模糊向量及其内外积 若0ai1(i=1,2,n),则称向量a=(a1,a2,an)为模糊向量。设a，b是模糊向量，则分别称:,二、隶属度和贴近度,1.隶属度,25,例如设:,0.1 0.5 0 0.6,0.2 0 0.7 0.3,0.2 0.5 0.7 0.6,取小0.2,0.1 0.5 0 0.6,0.2 0 0.7 0.3,0.1 0 0 0.3,取大0.3,a,b,26,(2)模糊向量集合族,(3) 隶属度,设U上有n个模糊子集 ,其隶属函数为: 当 为模糊向量集合族， 为普通向量时，则：,为 对 的隶属度。,设 是论域U上的n个模糊子集，称以模糊集 为分量的模糊向量为模糊向量集

10、合族,记为:,27,应用模糊数学方法的关键是建立符合实际的隶属函数,但它是目前尚未完全解决的问题。我国的汪培庄教授提出的随机集落影理论对于相当一部分模糊集的隶属函数的客观实在性给出了满意的解释,基于这一理论的模糊统计方法是确定一类模糊集隶属度的有效方法。现确定隶属函数的方法有模糊统计法、指派法、借用已有尺度法等。,基于不同考虑,隶属度也有其他的定义形式,如：,28,(4)最大隶属度原则,原则: 设论域 U=x1, x2, , xn上有m个模糊子集:,(m个模型)构成一个标准模型库，若对x0U，有i0 1,2,m 使得,则认为x0隶属于 。,29,则应首先录取xk 。,原则: 设论域U上只有1个

11、标准型 ，现有n个待识别对象x1, x2, xnU ，若其中的xk 满足:,为便于理解，下面给出两个应用的例子：,30,原则的例子。 在论域U=0,100(分数)上确定三个代表学习成绩的模集糊 =“优”， =“良”， =“差”。当某学生的数学成绩为88分时，该学生的数学成绩该评为优、良、还是差？,为此，要先建立模糊集 隶属函数。有人用指派法建立了论域U上模糊集 的隶属函数为:,31,32,把x=88分别代入上述三个隶属函数，得: 据原则，88分相对三个模型应隶属于 ，即可评为优。,33,原则的例子,设论域U=x1, x2, x3(三名学生的学习成绩),在U上确定以一个模糊集 =“优”，若三个学

12、生的英语成绩分别为x1=70, x2=80, x3=90现据英语成绩从三名学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？,由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则应首先聘任第三位同学。,把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:,得:,34,(2)择近原则 设论域U上有m个模糊子集 构成一个标准模型库 为待识别的对象。若存在i0 1,2,m使得:,2.贴近度及其择近原则,(1)贴近度 贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标,是我国学者汪培庄教授提出的,由于研究的问题不同,贴近度也有不同的定义形式,它的一般定义为:,设A，B是论域U上的两个模糊子集，则称,为A与B的贴近度。,35,待识别对象归入Ai

13、0类。,(3)实用贴近度 实际工作中实用的几个贴近度计算公式：,36,例1 茶叶的模型识别 论域U=茶叶, 其等级标准模型库,三、应用,待识别的茶叶样品为B,衡量茶叶质量指标为:条索,色泽,净度,汤色,香气和滋味。模型库与样品的有关数据 如右表。,贴近度计算公式:,37,按择近原则:,38,贴近度计算改用：,上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，那一种更好？,茶叶样品,39,(1) 建立标准模式库 在试油证实的油层、油水同层、含油水层、油气层、干层等各取若干个样品，每个以样品都有相同的7项气测指标，它们都是模糊变量 。各气测指标的平均值构成论域U=x1,x2,x7, xi是论域U上的模糊子集。,例2 识别储层含油气性,论域U=储层含油气性，储层含油气性可分为油层、油水同层、含