首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛中一组个人赛题解111

1、首届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛 (2006 - 2007)中一组个人赛题解除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。甲部十五题，每题5分。1.已知 39 410 59的乘积的个位数字是a，求a 的值。答案：0(因 2 及 5 的积是 10.)2. 图一是一个由25种不同颜色的小正方形组成的大正方形。数数看，它共有多少个不同的正方形? 图一答案: 55解：设每个小正方形的边长为1边长为1 的正方形有52 = 25个边长为2 的正方形有(5 1)2 = 4 = 16个边长为3 的正方形有(5 2)2= 3 = 9个边长为4 的正方形有(5 3)2 = 2 = 4个边长为5 的正方形有(

2、5 4)2 = 1 =1个共有55个3. 某按摩椅生产商为促销按摩椅，作了以下的优惠承诺：(a) 任何顾客购买按摩椅，可获25%折扣；(b) 若是会员，可折後再折35%；(c) 若是会员，同时又是长者，可额外再折40%。若一名长者会员以585元购买了一台按摩椅，问买价较原价便宜了多少元？答案: 1415元 解：由于折扣可以连绩使用，每次折扣的母数为前项折扣后的余数:原价: = 2000共节省了2,000-585=1,415元4. 已知7 9 11 13 15 1999 2001 2003 2005的积的个位数字是y，求y的值。答案：55. 已知，求c值。答案: 49/100c = (1/2 1

3、/3 )+ (1/3 -1/4 )+ (1/4 1/5) + (1/5 1/6) + (1/98 -1/99) +(1/99 -1/100) = 1/2 1/100=50/100 1/100=49/1006. 观察下列数列，找出第90个数除以3的余数是多少？10，13，23，36，59，95，154，答案：1每个数除以3的余数会得出一个规律： 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, . . . . . . 每8个数便出现一个周期所以 90 8 = 11 . . . 2，即第90个数除以3的余数是周期的第2个数，即 1。7. 图二所示为一个由长16cm、阔w cm的长方形纸折

4、成的梯形。已知折掉的三角形纸的面积是原长方形纸的面积的五分之二，求 w的值。 16cm 5cm w cm图二答案 : w = 25折掉的三角形纸的面积=1/2 (w -5) x 16= 8(w 5)或 16 w x 2/5所以 8(w 5)= 16 w x 2/5或 w 200 = 32 ww =258. 已知p为50以内的一个两位质数，且 2p + 1也是质数。若所有p的和是k，求k的值。答案：k=104;p=11, 23, 29, 419. 已知99条直线的交点的最大数目是 P ，求 P 的值。图三只供参考。图三答案: P= 4851 直线的数目： 234567.99 交点的数目：1369

5、9x98/2=4851 1+21+2+31+2+3+9810. 已知 ，且 = y，求y的值。答案： y = 1999 + 1998 x 1997 x 1/1999 =1999 + (1999 1) x 1997/1999 = 1999 + 1997 1997/1999 = 11. 已知在a个人中，必定最少有两个人是同月同日出生的，求a的值。答案: 367(抽屉原理，润年有366日) 12. 已知5位跳水运动员，可以组合成k队不同的双人跳水队伍。求k的值。答案: k = 10 穷举或5C213. 在一条公路上，每隔50公里便有一个垃圾站，公路上共有5个垃圾站。如图四垃圾站分布成一直线，A站储有

6、垃圾10吨，B、C、D、E站各储有垃圾20吨、0吨、0吨和35吨。已知每运送一吨垃圾五公里所需运费为40元，若要把所有垃圾运往一个垃圾站存放，问最便宜的运费是多少元?E站35吨D站0吨C站0吨B站20吨A站10吨图四答案： $40000A 站： (2010$40)(3540$40) = $64000B 站： (1010$40)(3530$40) = $46000C 站： (1020$40)(2010$40)(3520$40)= $44000D 站： (1030$40)(2020$40)(3510$40)= $42000E 站： (1040$40)(2030$40) = $4000014. 在下

7、午时分，小强在泥地上量度得某大厦的影子的长度是10米。小强实时把一根长35厘米的木棍的七份之一插入泥中，使木棍垂直竖立在大厦前面的地上，小强量度得木棍的影子的长度是5厘米。小强利用这些数据准确计算得大厦的高度是d米，求d的值。答案: 60d : 10 = (0.35 0.05) :0.05d = 6015. 某贵金属工场职员误把每克售元的贵金属看成为每克售0.73元。他售出b公斤後，出納員发觉工场损失了146元。求b的值。答案: 19.8Sol: b 0.73b = 146 73/9900 x b = 146b = 19800 g = 19.8 kg乙部十题，每题7.5分。16. 小文用了p枝

8、竹签及x粒泥胶砌了一个规则立体模形枝架，模形的侧面全是三角形。已知竹签的数量与一个面数是14，侧面全是矩形的规则立体的棱数相等，求的值。答案：19面数是14，侧面全是矩形的规则立体应是12角柱体。12角柱体的棱数是36。所以p = 36。因为小文砌了的立体模形枝架的侧面全是三角形，故应是锥体，若锥体的棱数是36，它必定是十八角锥体，十八角锥体的顶点数目应是19，所以x = 19。17.已知x、y、z是3个少于100的正整数，且xyz 及（x y）、（x z）及（y z）均是质数，求（x z）的最大值。答案：73 100xyz0x的最大可能值是99若x y 是质数，y的最大可能值是97i.e.

9、x y = 2是质数（x z）的最大可能值当z是最小值且令（x z）及（y z）均是质数设z = 3,4,5,.9 x z不是质数 设z = 10x z = 89 是质数y z = 87 不是质数设z = 16x z = 83 是质数y z = 81 不是质数设z = 20x z = 79 是质数y z = 77 不是质数设z = 26x z = 73 是质数y z = 71 是质数（x z）的最大可能值是7318. 已知在三位数中，数字之和是6的倍数的三位数共有p个，求p的值。 答案：p = 151取出的三个数字相同时，有888，666，444，222这4个数；取出的三个数字中有两个相同且都

10、不为0时，有(9,9,6 )；(8,8,2)；(7,7,4)；(5,5,8)；(5,5,2)；(3,3,6)；(2,2,8)；(1,1,4)共8种情况，每种情况都可以有3个符合条件，共有83 =24个数；取出的三个数都不同且都不为0时，有(9,8,7)，(9,8,1)，(9,7,2)，(9,6,3)，(9,5,4)，(9,2,1)，(8,7,3)，(8,6,4)，(8,3,1)，(7,6,5)，(7,4,1)，(7,3,2)，(6,5,1)，(6,4,2)，(5,4,3)，(3,2,1)共有16种情况，每种情况都可以有6个符合条件，共有16 6=96个数；取出的三个数字中有两个0时，有600这

11、1个数；取出的三个数字中有一个0时，另外两个数字相同时有(9,9,0)，(6,6,0)，(3,3,0)这3种情况，每种情况都可以有2个符合条件，共有6个数；取出的三个数字中有一个0时，另外两个数字不相同时有(9,3,0)，(8,4,0)，(7,5,0)，(5,1,0)，(4,2,0)这5种情况每种情况都可以有4个符合条件，共20个数。所以共有：4 + 24 + 96 + 1 + 6 + 20 = 151个数。19. 小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为3cm和4cm，拼砌成两个中空但大小不相同的正方形。已知砌得的大正方形的中空部份刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正方形的中空部份的面积相

12、差是y ，求y的值。43答案：243IIII45II45或IIII34IV3IVII34ay大中空正方形的面积 小中空正方形的面积5 x 5 (4 3) (4 3) 25 -1 24 20. 数学老师作了一个密码给同学们破解，密码是PQRQQS，相同字母代表相同的数字，不同字母代表不同的数字。巳知道这6个数字之和等于31，且：P是任何整数的约数(因子)；Q是合成数；R是若被任何一个数去除，答案都会一样；S是质数。这个密码是甚么？ 答: 190993P=1, R=01+3Q+0+S=313Q+S=30,只有Q=9, S=3付合Q是合成数，S是质数。所以这个密码应是190993。21. 小美步行上

13、楼梯的习惯是每次都只跨一级或两级。若她要从地面(0级)步行到第9级，问她共有多少种不同的步行上楼梯的方式？答案: 55 梯级的数目：123456789不同步行方法的数目：1235813213455共有55种不同的上楼梯方式22. 一六位数3434ab能同时被8和9整除。已知a + b = c，求c的最小值。答案: c的最小值是4。若六位数3434ab能被8整除，则400+10a+b的和必是8的倍数。由于400能被8整除。 故只需考虑若9a+(a+b)能被8整除时a+b的值是甚么。（即：9a+(a+b) 一定要能被8整除）同理，若3434ab能被9整除。（3+4+3+4+a+b）的和一定要能被9

14、整除，若14+ (a+b)能被9整除(a+b)的值祇可以是4或13。注意：不可以是22，因为a和b是个位数字。a+b=4能满足入9a+(a+b) 一定要能被8整除当a=4，b=0故a +b的最小值应是4。23. 图五是一3 3的幻方。当空格填上适当的数字后，每行、每列以及对角在线的数字的和都是相等的。求 k 的值。 k11121图五答案：231121 2 11 = 231a kbcd11121a + k + b = a + c + 121 及 c + d + 11 = b + d + 121 故化简后，k = 231 24. 一张白纸上印上123，132。由3开始，划去前面两个数，将它们的和写

15、在最右方，如3，4，132，3。同样，再划去前面两个数，将其和写在最右方，如5，6，132，3，7。这样一直进行下去，直至只剩下一个数为止。问由你写下的所有数字的和是多少？答案：61482若数列：1, 2 3 总和=3或= 1(1+2) = 3若数列：1,2, 3, 4,3, 4, 3 3, 7, 10 1,2,3,4,3,7,10总和= 3 + 7 + 10 = 20 或2(1+2+3 +4) = 20若数列：1,2,3,4,5,6,7,83,4,5,6,7,8,35,6,7,8,3,7,7,8,3,7,11,3,7,11,1511,15,1010,2636即是1,2,3,4,5,6,7,8

16、, 3,7, 11, 15, 10, 26, 36 总和 = 108或3 (1+2+3+4+5+6+7+8) = 108若是有2x个连续数，则用如此的方法去计算其总和，则总和= x ( 2x个连续数的和)由于 27 = 128 132 256=28，而132与128相差4，由于删去2个增多1个数，故前删去8个数，则在132的后面添上4个数，则数列有128个数亦即等于 27个数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 132 经过四次的做法之后：9,10,11,132,3,7,11,15，这里共有128个数。其总和为7(132)(133)/2而加上原删去的8个数的和：8(9)/2，所以总和是6148225.将若干个由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为，问删去的那个数是多少？答案：46基于平均数的考虑：1，2，3，4，.，105的