高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3.3 空间向量运算的坐标表示学案 北师大版选修

1、2.3.3 空间向量运算的坐标表示1掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示(重点)2能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角(难点)基础初探教材整理1空间向量运算的坐标表示阅读教材P36P37例5以上的部分，完成下列问题1空间向量运算的坐标表示设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则：(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)，即，空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差(3)a(x1，y1，z1)(R)，即，实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积(4)设a(x1，y1，z

2、1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.即，空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和2空间向量的坐标与起点和终点坐标的关系若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)1已知a(1,2，3)，b(5，7,8)，则2ab的坐标为()A(7，3,2)B(6，5,5)C(6，3,2)D(11，12,13)【解析】2ab2(1,2，3)(5，7,8)(2,4，6)(5，7,8)(7，3,2)【答案】A2在空间直角坐标系中，点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则_.【解析】(4,5,6)(1,2,3)(3,3,3)【答

3、案】(3,3,3)教材整理2空间向量平行、垂直、长度、夹角的表示阅读教材P37例5以下P38练习以上的部分，完成下列问题设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)若b0，则aba bx1x2，y1y2，z1z2(R)；(2)abab0x1x2y1y2z1z20.|a|.cosa，b.(a0，b0)1已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，则a与b()A垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向【解析】ab030300，ab.【答案】A2与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标为()A(1,3,2)B(1，3,2)C(1,3，2)D(1，3，2)【解析】(1,3，2)(1，3

4、,2)，(1,3，2)与(1，3,2)平行【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的坐标运算(1)已知a(2，1,3)，b(1,2，1)，则ab_，2ab_.【自主解答】ab(21，12,31)(3,1,2)，2ab2(2，1,3)(1,2，1)(4，2,6)(1,2，1)(3，4,7)【答案】(3,1,2)(3，4,7)(2)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值为_【自主解答】ab，bk a，即k(1,0,2)(6,21,2)，2或3.【答案】 或 (3)已知a(1

5、,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，则ab2c_.【导学号：】【自主解答】ab2c(1,0，1)(1，2,2)2(2，3，1)(4,8，5)【答案】(4,8，5)数量积的坐标运算已知a(3,5，4)，b(2,1,8)，求(1)ab；(2)(2ab)(3ab)【精彩点拨】根据数量积的计算公式运算即可【自主解答】(1)ab3251(4)821.(2)2ab2(3,5，4)(2,1,8)(6,10，8)(2,1,8)(4,9，16)3ab3(3,5，4)(2,1,8)(9,15，12)(2,1,8)(11,16，4)(2ab)(3ab)411169(16)(4)252.空间向量数量积即将

6、对应坐标乘积的求和，牢记运算公式是正确计算的关键再练一题1本例条件不变，求(ab)(ab)【解】(ab)(ab)aabb(3,5，4)(3,5，4)(2,1,8)(2,1,8)92516(4164)19.利用坐标运算解决长度和夹角问题已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积【精彩点拨】根据平行四边形的面积S|sin (，)，所以必须求出|、|、sin 的大小【自主解答】(2,1,6)(0,2,3)(2，1，3)，(1，3,2)设，cos ，0，sin ，S|sin 7，即以，为邻边的平行四边形的面积为7.1空间中的距离和夹角问题可

7、转化为向量的模与夹角问题求解这体现了向量的工具作用引入坐标运算，可使解题过程程序化2平行四边形面积的计算公式：SABCD.再练一题2已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)(1)求cosBAC；(2)求ABC中BC边上中线的长度【解】(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)，b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cosBAC.(2)设BC中点为D，则D点坐标为，又A(2,0,2)，|.即ABC中BC边上中线的长度为.坐标形式下的平行与垂直问题已知空间三点A(2,0,2)、B(1,1,2)、C(3,0,4)设a，b.【导学号：】(1)设|c|3，c，求c；

8、(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.【精彩点拨】利用向量平行与垂直的直角坐标表示运算即可【自主解答】(1)(2，1,2)且c，设c(2，2)|c|3|3.解得1.c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,2)，kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k.向量平行与垂直问题主要有以下两种类型：一是判断平行与垂直；一是利用平行与垂直求参数或其他问题解决这种问题时要注意：适当引入参数参与运算；建立关于参数的方程；准确运算再练一题3设a(1,5，1)，b

9、(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.【解】(1)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)，即kaba3b，由于a与b不共线，所以有解得k；(2)由于(kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)0，即k|a|2(3k1)ab3|b|20，而|a|227，|b|238，ab8，所以27k8(3k1)1140，解得k.探究共研型空间直角坐标系的特征探究1在建立空间直角坐标系时，空间向量的坐标运算与坐标原点的位置有关系吗？【提示】(1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其“线线夹角”、“点点距离”是固定的，坐

10、标系的位置不同，只会影响其计算的繁简(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系转化为坐标运算，一般按照右手系建系，如图所示探究2用坐标表示空间向量的一般步骤是什么？【提示】用坐标表示空间向量的一般步骤是：(1)观察图形、认识图形，并分析图形特征(2)建系找出三条两两垂直的直线作轴，建立空间直角坐标系(3)计算利用向量的线性运算用基底表示目标向量(4)结果根据线性运算表示不确定向量的坐标如图2313所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系过B作BMAC1于M，求点M的坐标图2313【精彩点拨】写出A，B，

11、C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BMAC1及M在AC1上建立方程组，求解【自主解答】法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.M.法二：设(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)BMAC1，0即a2a2a2a20，解得，.M点坐标.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对空间任意的两个向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)若a与b共线，则.

12、()(2)若a(x，y，z)则|a|x2y2z2.()(3)若向量(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)()【解析】(1)若b0则不成立(2)|a|.(3)因需知A点坐标方可求点B坐标【答案】(1)(2)(3)2向量a(2,1，1)，b(3，2,1)，则下列结论正确的是()Aab(5，1,1)Bab(1，1,0)C2b(6，4,2)Dab9【解析】ab(5，1,0)，ab(1,3，2)，2b(6，4,2)，ab23(2)11(1)3.【答案】C3已知向量a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值为()A3B4C5D6【解析】ab312x5(1)2.x5.【答案】C4已知a(2，1,2)，b(0，1,4)，则ab_.3b_，ab_.【解析】ab(20，11,24)(2，2,6)3b3(0，1,4)(0，3,12)ab20(1)(1)249.【答案】(