关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法

1、.关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法周家军（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：）摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。1、绪言利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。2、用外切圆分割正多边形假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。假若组成正多边形的

2、一个三角形为AOB，圆心角为 ,设AB=S，正多边形的周长为L，依题意，有：OA=OB=R正多边形的周长L为：L=2*n*S圆心角和分割圆的线段（直径）n的关系为：根据三角函数，可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式，为：S2=R2+R2-2*R*R*cos（）2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：2.2、圆周率以正多边形的圆心角为变量的计算形式若以圆心角为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。圆心角值越小，分割圆的直

3、径数n就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：将n=代入上式，可得：3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式过O点作AB的垂线OD，如图所示：在AOD中，依题意有：OA=RAOD=AD=根据三角函数，有如下的关系式：AD=R*sin()=R*sin()S=2*R*sin()正多边形的周长L为：L=2*n*S =2* * 2*R*sin()3.1、圆周率以正多边形的圆心角为变量的计算形式圆周率的计算公式为：3.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式若要以线段（直径）n为变量，将a =代入上式，即可得4、用内切圆分割正多边形

4、在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示：假设组成正多边形的一个三角形为AOB，垂足点为D。边长AB=S，正多边形的周长为L，圆心角为。依题意，有：OD=R的大小和分割的线段（直径）n有关联，n越大，正多边形的边就越多，就越小；反之，意然。它们的关系式如下：在OAD中，根据三角函数关系，可列出如下关系式：AD=AOD=AD=OD*tg()= R* tg()S= 2*R* tg()正多边形的周长L为：L=2*n*S=2* 2

5、*R* tg()4.1、圆周率以正多边形的圆心角为变量的计算形式如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：4.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式将代入上式，可得到以线段（直径）n为变量的另一种形式的计算式子：5、圆周率的取值及祖冲之密率证明将以上推导的圆周率的计算公式整理如下： 或： 公式和、和、和是等价的，可以相互转换，转换因子为。（用公式计算圆周率时，理论分析上，n只能取正整数，a为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算

6、出的圆周率值才能越准确。）以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。他还得出圆的密率为，这是可以证明的。在以上有a的式子里，将a=7代入公式，在内切圆中，,在外切圆中，。由此可知，祖冲之用了n=25.726，用了26根棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。如果将=3.1415926代入式，整理后，得：2*n2-2*n2*cos - 3.1415926*3.1415926=0这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。不过，当我用数字代入n值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。6、圆周率的其他计算形式当用（k为任意正数 ）代入上面的公式，可得到圆周率的另一种计算公式。这个公式依然可以计算出圆周率的值。比如说：当k=1时，代入上式：代入式得代入式得代入式得（这就是用半径