高中数学 第1章 导数及其应用章末分层突破学案 新人教B版选修

1、章末分层突破自我校对导数及其应用导数的运算曲线的切线斜率导数的四则运算函数的单调性曲线的切线最优化问题曲边梯形的面积微积分基本定理的应用导数的几何意义及其应用利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程(1)曲线

2、yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1(2)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图11所示，则该函数的图象是() 【导学号：】图11【精彩点拨】(1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数(2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论【规范解答】(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为k2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误

3、；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确【答案】(1)C(2)B再练一题1已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程【解】(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率k4.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率kx.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40.x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x

4、01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02.切点为(2,4)或.斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.利用导数判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想这部分内容要注意的是f(x)为增函数f(x)0且f(x)0的根有有限个，f(x)为减函数f(x)0且f(x)0的根有有限个(2016北京高考)设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)

5、x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间【精彩点拨】(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性【规范解答】(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)

6、再练一题2(2016全国卷)(1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域【解】(1)f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增因此当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a单调递增对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0

7、xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y单调递增，所以，由xa(0,2，得h(a).因为y单调递增，对任意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.利用导数研究函数的极值、最值由函数的解析式能求出函数的极值和最值，反过来由函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,

8、0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围【精彩点拨】(1)由求出a，b即可(2)对t分0t2与2t3两种情况求最值(3)构造函数g(x)f(x)c转化为g(x)在1,3上有实根求解【规范解答】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3

9、x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)的最大值为f(0)2，f(x)的最小值为f(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)2单调递减极小值2单调递增t33t22f(x)的最小值为f(2)2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)的最大值为f(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.要使g(x)0在1

10、,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.再练一题3已知函数f(x)x312xm.(1)若xR，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数yf(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x1,3时，f(x)的最小值为2，求f(x)的最大值【解】(1)f(x)3x212.当f(x)0时，x2或x2.当f(x)0时，2x2.当f(x)0时，x2或x2.f(x)在(，2)，(2，)上单调递减，在(2,2)上单调递增f(x)极小f(2)16m.f(x)极大f(2)16m.f(x)极大f(x)极小32.(2)由(1)知要使函数yf(x)有三个零点，必须即16m16.m的取值范围为(16,16)(3)当

11、x1,3时，由(1)知f(x)在1,2)上单调递增，f(x)在2,3上单调递减，f(x)的最大值为f(2)又f(1)11m，f(3)m9，f(1)f(3)，在1,3上f(x)的最小值为f(1)11m，11m2，m9.当x1,3时，f(x)的最大值为f(2)(2)3122925.函数与方程的思想函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，证明时灵活构造函数关系，尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f(x)g(x)，x(a，b)，可转化为证明F(x)f(x)g(x)与0的关系，若F(x)0，则函数F(x)在(a，b)上是增函数若F(a)0，则由增函数的定义，知当x(a，b)时，有F(

12、x)F(a)0，即f(x)g(x)成立，同理可证明f(x)g(x)，x(a，b)设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a，b的值；(2)若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x1,2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，当x2时，f(x)取得极小值f(2)48c，又f(0)8c，f(3)98c.所以当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.故c的取值范围为c9.再练一题4(2016郑州高二检测)已知函数f(x)，且f(x)的图象在x1处与直线y2相切(1)求函数

13、f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围【解】(1)对函数f(x)求导，得f(x).因为f(x)的图象在x1处与直线y2相切所以即所以a4，b1，所以f(x).(2)因为f(x)，所以直线l的斜率kf(x0)4，令t，t(0,1，则k4(2t2t)82，所以k.定积分及其应用定积分是对“分割、近似代替、求和、取极限”的概括，包含“以直代曲”的数学思想，利用定积分的几何意义、物理意义及微积分基本定理可以解决不规则平面图形的面积及变力作功问题设两抛物线yx22x，yx2所围成的图形为M，求M的面积【精彩点拨】求出两抛物线的交点，画出图象、利用定积分求解【规范解答】函数yx22x，yx2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示由图可知，图形M的面积S(x22xx2)dx(2x22x)dx.再练一题5一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5B825ln C425ln 5D450ln 2【解析】由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，在此期间行驶的距离为v(t)dtdt42