平行四边形辅助线解析

1、例1.如图1，E是平行四边形ABCD中AB延长线上一点，ED交BC于F，求证：SABF=SCEF.证明：【ABF与CEF仅有一个相同字母F，所以ABF与CEF不同底；E点可为AB延长线上任意一点，F由E确定，故F点位置不定，从而BF=CF不一定成立，即ABF与CEF不等底；既不同底也不等底，故不能由公式法直接证两三角形面积相等】 【考虑到ABF与CEF有公共顶点F，故可考虑用大的规则图形面积减去它们所夹图形面积表示这两个三角形的面积】【按顺序考虑，由于BEF相对于梯形AFCD更简单，先从ABF的逆时针方向考虑证SABF+SBEF=SCEF+SBEF,即SAEF=SBCE，AEF与BCE依然既不

2、同底也不等底，与证SABF=SCEF相比，计算量是一样的，这个方向可以先暂停了】 【从ABF的顺时针方向找关系，SABF=SABCD-SADF-SCDF或SABF=S梯形ABFD-SADF，ABCD与梯形ABFD相比更规则，这里选择ABCD；SCEF=SCDE-SCDF】 【SABCD-SADF-SCDF与SCDE-SCDF对比，SABCD与SCDE都可以以CD为底边计算，且高相等；SCDF两个式子都包含；故这个方向大概率可行】 【要证SABCD-SADF-SCDF=SCDE-SCDF，左边两个运算，右边一个运算，从右往左变形好下手】 连接BD，过点B作BM垂直CD于M，过点E作ENCD于N四

3、边形ABCD为平行四边形BM=EN【这里BM是ABCD的CD边上的高，也是BCD的CD边上的高；EN是CDE的CD边上的高】SCDB=12CDBM，SCDE=12CDENSCDB=SCDE【证面积相等，底和高表示出来就好，没那么难开口】SCEF=SCDE-SCDF= SCDB-SCDF=SDBF 【这个等量代换后，问题转化成证SABF=SDBF】 过点A作AGBC于G，过点D作DHBC于H四边形ABCD为平行四边形AG=DH SABF=12BFAG，SDBF=12BFDHSABF=SDBF SABF=SCEF 例2.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AC=a+b，BD=a+c

4、（bc），AB=m，求m的取值范围.解:平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O AO=12AC=a+b2，BO=12BD=a+C2 bcAO-BO=b-C20【AO与BO都是代数式，作差比较大小】 在ABO中AO-BOABAO+BOb-C2m2a+b+C2 例3.如图，平行四边形ABCD中，DBC=30，DEDB交BC的延长线于E，AD=a，DE=b，求SDCE.解：在BDE中，DBC=30，DEBDBE=2DE=2b，BD=BE2-DE2=3b【BDE的形状是固定的，BC与AD的位置是固定的，C在BE上位置不定，即AD=BC可为任意值，故a=b肯定推不出来】 四边形ABCD为平行四边形

5、BC=AD=aCE=BE-BC=2b-a 作DHBE于H DBC=30DH=12BD=32b SDCE=12CEDH=12（2b-a）32b=32b2-34ab 例4如图，平行四边形ABCD的周长为40，ABC=60，E、F是BD上的三等分点，AE的延长线交BC于M，MF的延长线交AD于N，设BC=x，SAMN=y，试求y与x的函数关系. 解：【看起来无从下手，可以在草稿上把条件列一遍：2（AB+BC）=40ABC=60BE=EF=FDBC=xSAMN=y；用x表示y】【结合用x表示y=SAMN】 【观察可知，可代入】 平行四边形ABCD的周长为40 2（AB+BC）=40BC=xAB=20-

6、x，AD=BC=x【条件剩下: ABC=60BE=EF=FD用x表示y=SAMN】 【从需求出发，要求y=SAMN，则要求一边长及高，显然选AN为底，可先求AN的高】 【高必有90，与ABC=60结合为特殊三角形】过点A作AGBC于点G，ABC=60BAG=30BG=12AB=10-x2，AG=AB2-BG2=103-32x过点M作MHAD于H四边形ABCD为平行四边形AD/BCHM=AG=103-32x【条件剩下: BE=EF=FD用x表示y=SAMN】【三等分点就是三段线段相等，可以把三等分点转化成两个中点来处理】E、F是BD上的三等分点BE=EF=FDE是BF中点，F是DE中点作AE中点

7、I，连接IF，则IF/AD，IF=12AD又AD/BCIF/BG1=2IEFMEB（AAS） BM=IF=12AD=x2同理可得ND=12BM=x4 AN=AD-ND=3x4SAMN=12ANHM=123x4（103-32）=1534x-3316x2，即y=1534x-3316x2例5如图，平行四边形ABCD中，N是AB中点，BE=14BC，NE与BD交于F，求BFBD的值. 解：连接NO四边形ABCD是平行四边形，O是对角线交点O是AC中点又N是AB中点NO/BC，NO=12BCBE=14BCBE=12NO【右图红线部分即例4红线部分】作NF中点P，OF中点Q连接PQ则PQ/NO,PQ=12

8、NO，FQ=QOPQ/BE，PQ=BEPQF=EBF，QPF=BEFPQFEBF（ASA）BF=FQ=QO=13BO四边形ABCD是平行四边形BO=12BDBF=13BO=16BOBFBD=16 例7如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF交于P，求证AP=AB.解：【比较明显可以看出BPF=90，也比较好证】四边形ABCD是正方形BCD=D=90，BC=CD=DAE、F分别为CD、DA的中点CE=DF在BCE与CDF中BC=CD，BCD=D，CE=DFBCECDF1=22+3=901+3=90BPF=CPE=90【求证AP=AB，不管怎么样，先连接AP】连接AP 【求

9、证AP=AB，则AP=AB必然成立，倒推，考虑三线合一】【很明显，AP是中垂线，这里辅助线AP的描述可以是：作BP的中垂线PH，证点A在PH上，证不出来；作BP的中点P，连接AP，证APBP,证不出来；作APBP于P，证P是BP的中点，证不出来；】【以上提供三种错误思路，很多人坚韧不拔，证不出来还死磕，还有的投机取巧，写易证，很明显都不易证】【重新倒推：要证AB=AP，只需证4=5；要证4=5，只通过ABP证不出来，故必然要对4与5进行等量代换；4+2=ABC=90，5+6=BPF=90，故要证4=5，只需证2=6；要证2=6，只需证4=5，死循环，卒】【又一种错误思路】【接重新倒推：4+2=

10、ABC=90，5+6=BPF=90；BPF是前面好不容易证出来的90，所以2不要了，想办法让4与BPF有关联；4与BPF有共同边BP，延长PF，BA交于点Q，则4+Q=90；要证4=5，只需证6=Q，只需证AP=AQ，只需证点AB=AQ】【试图利用三线合一解题的时候，就可以发现AP必然是中位线，进而补全BPQ】【以下提供Q点三种描述方法】证法一：延长CF、BA，交于点Q四边形ABCD是正方形CD=AB，CD/ABD=DAQF是AD中点DF=FA在CDF与QAF中D=DAQ，DF=FA，CFD=AFQCDFQAF（ASA）AQ=CD=ABAP=12BQ=AB证法二：延长BA到点Q，使AQ=BA，

11、连接FQ证CDFQAF（SAS），CFD=AFQ，AQ=CD=ABCFD+CFA=180AFQ+CFA=180P、F、Q三点共线AP=12BQ=AB【不证P、F、Q三点共线，可能是四边形PBQF】证法三：延长CF到点Q，使FQ=CF，连接AQ证CDFQAF（SAS），D=DAQ=90，AQ=CD=ABBAD=90BAD +DAQ =180B、A、Q三点共线AP=12BQ=AB【不证P、F、Q三点共线，可能是四边形PBAQ】 例8如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是DC、DA上一点，AE=CF，AE与CF交于P，求证PB平分APC.证明：【证明PB平分APC有两种方法，证APB=CPB；证点

12、B到AP、PC距离相等】【比较明显APB与CPB不全等；若在AP上截取PG=PC构造PGBPCB；由于 PG=PC，PB=PB，若通过SAS证明，则需证APB=CPB，结论证结论，必然不可行；若通过SSS证明，则需证BG=BC，很明显证不出来.】过点B作BMAE于点M过点B作BNCF于点N【问题转化成证BM=BN；BM，BN的作用有二：全等高】【若证BPMBPN，已知BP=BP，PMB=PNB，需证第三个条件：不是MPB=NPB，结论证结论；不是BM=BN，结论证结论；PM=PN或MBP=NBP，条件不足，无法证明；全等方向排除】【BM，BM作为高考虑：条件平行四边形ABCDAE=CF求证BM

13、=BN】【BMAE，BNCF，等底等高，故问题转化为求证SBCF=SABE】 连接BF，BE，作FHBC于H四边形ABCD是平行四边形SABCD= BCFHSBCF=12BCFH=12 SABCD同理可证SABE=12 SABCDSBCF=SABE12CFBN=12AEBMAE=CFBN=BM点B在AMC的平分线上BP平分AMC 例9如图，E是平行四边形ABCD对角线BD上一点，EFBC，EGBA，垂足分别为F、G，求证： EFAB=EGBC.解：【很明显BEGBFE不成立，故考虑EF，EG作为高，则EG对应的底边是AB，EF对应BC，观察发现这四个量都在EFAB=EGBC中，EFAB=EGB

14、C可变形为EFBC=ABEG，问题转化成证SABE=SCBE，同底，只需证等高】 连接AE，CE，作AMBD于点M，CNBD于点N四边形ABCD为平行四边形ABDCDBSABD=SCDB12BDAM=12BDCNAM=CN【证ABMCDN或ADMCBN也可】SABE=12BEAM，SBCE=12BECNSABE= SBCE12ABEG= 12BCEFEFAB=EGBC例10如图10，ABCD是正方形，BEAC，AE=AC，CFAE，求证：AEB=2BCF.解：【很明显，四边形AEFC是菱形】BE/AC，CF/AE四边形AEFC为平行四边形又AE=AC四边形AEFC为菱形 【要证AEB=2BCF，AEB是菱形内角】AEB=ACF【问题转化成证ACF=