高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学案苏教版选修

1、3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用.知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.梳理(1)在空间，把具有_和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_.空间向量也用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为_.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长

2、度为0的向量叫做_，记为0单位向量_的向量称为单位向量相反向量与向量a长度_而方向_的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向_且模_的向量称为相等向量，_且_的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量及其线性运算1.空间向量的线性运算已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：_；_.若P在直线OA上，则_(R).2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：ab_；(ab)c_；(ab)_(R).知识点三共线向量(或平行向量)1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_，那么这些向量叫做共线向量或平行向

3、量.若向量a与b平行，记作_，规定_与任意向量共线.2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使_.知识点四共面向量及共面向量定理思考1当a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？思考2向量a，b，c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？梳理共面向量及共面向量定理共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得_类型一空间向量的概念及应用例1如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的

4、所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若ABAD2，AA11，求向量的模.引申探究如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量；试写出与向量相等的所有向量；试写出向量的所有相反向量.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1

5、D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的命题的序号为_.类型二空间向量的线性运算例2如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)；(2).引申探究利用例2题图，化简.反思与感悟化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.类型三向量共线定理的理解与应用例3如图所示，在

6、正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线.反思与感悟(1)判定共线：判定两向量a，b(b0)是否共线，即判断是否存在实数，使ab.(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若ab，则ab(R).(3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：是否存在实数，使；对空间任意一点O，是否有t；对空间任意一点O，是否有xy(xy1).跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用，表示向量.类型四共面向量定理及应用例4如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，

7、点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.引申探究本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证：，共面.反思与感悟向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.跟踪训练4已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足，判断，三个向量是否共面.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()B1C1；().其中运算的结果为的有_个.2.化简2233_.3.设e1，e2是平面内不共线的

8、向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三点共线，则k_.4.以下命题：两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；共线的两个向量互相平行；共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.其中正确命题的序号是_.5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.(1)3；(2)4.1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运

9、算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.2.证明空间向量共面或四点共面的方法(1)利用共面向量证明.(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面.(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.答案精析问题导学知识点一思考在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理(1)大小方向长度模长度|a|或|(2)零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二1.acabca2.baa(bc)ab知识点三1.平行重合ab零向量2.ba知识点四思考1不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实

10、数组(x，y)使pxayb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使pxayb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.思考2不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.梳理pxayb题型探究例1解(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个.(2)向量的相反向量为，.(3)|3.引申探究解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之

11、外)有，及.向量的相反向量有，.跟踪训练1例2(1).(2).向量、如图所示.引申探究0.跟踪训练2证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2().又，.2.例3解设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc.所以abc(abc).又bcaabc，所以，又因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线.跟踪训练3.例4证明分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R为所在边的中点，顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有，PG，.因为MNQR为平行四边形，所以()()()()().所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面.引申探究