高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学案（含解析）新人教A版必修

1、23.1平面向量基本定理平面向量基本定理提出问题问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想：平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以问题2：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以根据是数乘向量和平行四边形法则问题3：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定当a与e1共线时可以表示，否则不能表示导入新知平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12

2、e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底化解疑难理解平面向量基本定理应关注的三点(1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底(3)1，2是唯一的.两向量的夹角提出问题问题1：平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在问题2：若上题中的结论为存在夹角，向量的夹角与直线的夹角一样吗？提示：不一样导入新知向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0，特殊情况0a与b同向90a与b垂直，记作ab180a与b反向化解疑难正确理

3、解向量的夹角(1)向量夹角的几何表示：依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角如图，已知两向量a，b，作a，b，则AOB为a与b的夹角(2)注意事项：向量的夹角是针对非零向量定义的向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是0，和.用基底表示向量例1如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若a，b，试用a，b表示，.解如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形则a；ba；ab.类题通法用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求

4、向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活学活用如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是BC，DC边的中点若a，b，试用a，b为基底表示向量，.答案：ab；ba向量夹角的简单求解例2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是多少？ab与a的夹角又是多少？解如图所示，作a，b，且AOB60.以，为邻边作平行四边形OACB，则ab，ab.因为|a|b|2，所以平行四边形OACB是菱形又因为AOB60，所以与的夹角为30，与的夹角为60.即ab与a的夹角是30，ab与a的夹角是60.类题通法求两个向量夹角的方法求两个向量

5、的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角过程简记为“一作二证三算”活学活用如图，已知ABC是等边三角形(1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角答案：(1)120(2)90平面向量基本定理的唯一性及其应用例3(1)设向量e1与e2不共线，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，则实数x，y的值分别为()A0,0B1,1C3,0 D3,4(2)在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，求的值解(1)D(2)设a，b，则ab，ba，ab，所以baab.又因为a，b不共线，所以解得，

6、所以.类题通法1平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1ay1bx2ay2b，则2重要结论设e1，e2是平面内一组基底，当1e12e20时恒有120若a1e12e2当20时，a与e1共线当10时，a与e2共线120时，a0活学活用若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底答案：c，d能作为基底5平面向量基本定理的应用典例(12分)如图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值解题流程规范解答设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.(2分)A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，

7、使得e13e2，(4分)2e1e2.(6分)故(2)e1(3)e2.而2e13e2，(8分)由平面向量基本定理，得解得(10分)，APPM41.(12分)名师批注选取恰当的基底是解决此类问题的前提若不能根据题意选出基底或设出基向量，则后续推导无法进行利用A，P，M和B，P，N分别共线建立，是解决本题的关键，也是解决此类问题的常用方法由平面向量基本定理的唯一性建立关于，的方程组，求出，的值，即可求出与的关系，进而求出APPM的值 活学活用如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若x，y，试问：是否为定值？答案：4，为定值随堂即时演练1设O

8、是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是()ABC D答案：B2已知ABCD中，DAB30，则与的夹角为()A30 B60C120 D150答案：D3如图，C，D是AOB中边AB的三等分点，设e1，e2，以e1，e2为基底来表示_，_.答案：e1e2e1e24已知e1，e2不共线，且ake1e2，be2e1，若a，b不能作为基底，则k等于_答案：15梯形ABCD中，ABCD，M，N分别是DA，BC的中点，且k，设e1，e2，以e1，e2为基底表示向量.答案：e1(k1)e2课时达标检测一、选择题1如果e1，e2是平面内两个不共线

9、的向量，那么下列说法中不正确的是()e1 e2(，R)可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1 e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若实数，使得e1e20，则0.ABC D答案：B2已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1，e1e2Be12e2，e22e1Ce12e2,4e22e1De1e2，e1e2答案：C3如图，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)答

10、案：A4AD与BE分别为ABC的边BC，AC上的中线，且a，b，则()A.ab B.abC.ab Dab答案：B5A，B，O是平面内不共线的三个定点，且a，b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR等于()AabB2(ba)C2(ab)Dba答案：B二、填空题6已知非零向量a，b，c满足abc0，向量a，b的夹角为120，且|b|2|a|，则向量a与c的夹角为_答案：907如图，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于点H，M为AH的中点若，则_.答案：8设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组

11、合，即e1e2_.答案：ab三、解答题9设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.10如图，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设a，b，试用