2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第九单元第二节 直线位置关系.ppt

1、1. 两条直线平行与垂直的判定,（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1l2 .特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2都与x轴 . (2)两条直线垂直 如果两条直线l1,l2的斜率存在，分别设为k1,k2,则l1l2 .,k1=k2,垂直,k1k2=-1,知识梳理,第二节 直线的位置关系,2. 三种距离,（1）两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式 P1P2= . 特别地，原点（0,0)与任一点P(x,y)的距离OP= . (2)点到直线的距离 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离

2、d= . (3)两条平行线的距离 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d= .,典例分析,分析 可以把直线化成斜截式，运用斜率或截距的数量关系来判断求解，但由于直线的斜率可能不存在，就必须进行分类讨论；也可以运用一般式方程中的系数关系来判断或求解，这样可以避免讨论.,题型一 两条直线位置关系的判定和应用 【例1】已知直线 :ax+2y+6=0和直线 :x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 与 是否平行； （2）当 时，求a的值.,解 （1）方法一：当a=1时， :x+2y+6=0, :x=0, 所以 不平行于 ; 当a=0时， :y=-3, :x-y-1=0,

3、 所以 不平行于 ; 当a1且a0时，两直线可化为 :y=-a2x-3, :y=11-ax-(a+1), 由 解得a=-1, 综上可知,当a=-1时, ;否则 与 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-12=0; 由 ,得 故当a=-1时， ;否则 与 不平行. （2）方法一：当a=1时, :x+2y+6=0, :x=0, 所以 与 不垂直，故a=1不成立; 当a1时， 由,方法二：由 ，得 a+2(a-1)=0,学后反思 (1)直线 ,直线 “ 且 ”的前提条件是 , 的斜率都存 在.若不能确定斜率的存在性，应对其进行分类讨论：当 , 中有一条存在斜率，而另一条不存在斜率时， 与 不平行；

4、 当 , 的斜率都不存在（ 与 不重合）时, ; 当 , 均有斜率且 , 时，有 .为避免 分类讨论，可采用直线方程的一般式，利用一般式方程中的“系 数关系”的形式来判断两直线是否平行，如本例方法二.,（2）当 时，可分斜率不存在与斜率存在且 来 解决问题.如果利用 可避免分类讨论.,举一反三,1. 已知直线ax+3y+1=0与x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析： 当a-2=0或a=0时两直线显然不平行， 当a-20且a0时，由题意得 1a,解得a=3. 综上，a=3.,2. 已知直线ax-y+2a=0与（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求实数a的值.,解析： 由a(2a-1)

5、-a=0,解得a=1或a=0, 当a=1时，两方程为x-y+2=0与x+y+1=0,互相垂直； 当a=0时，两方程为y=0与x=0互相垂直. 所以a=1或a=0即为所求.,题型二 距离问题,【例2】求过点A(-1,2),且与原点的距离等于 的直线方程. 分析设出所求直线的点斜式方程，运用待定系数法求直线的方程，但必须要注意斜率是否存在这个问题.,解 过点A(-1,2)且垂直于x轴的直线不满足题意， 设过点A(-1,2)的直线点斜式方程为y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. 原点到直线的距离等于 ,d= = ， 解得k=-1或k=-7, 即所求直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=

6、0.,学后反思 (1)直线的点斜式方程不能代表垂直于x轴的直线，故要进行讨论. (2)使用点到直线的距离公式时，必须把直线方程化为一般式.,举一反三 3. (2009全国)若直线m被两平行线 :x-y+1=0与 :x-y+3=0所截得的线段的长为 ,则m的倾斜角可以是: 15;30;45;60;75.其中正确答案的序号是 .(写出所有正确答案的序号),解析： 如图所示， 与 间的距离为 ，由图 知直线m与 的夹角为30,又l1的倾斜角为45,所以直线m 的倾斜角为30+45=75或45-30=15.,题型三 交点及直线系问题,【例3】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0

7、的交点且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.,分析 本题可以先求交点坐标，然后由直线间位置关系求解， 也可以先设出直线系方程，后代入点具体求解.,方法三：由l过l1,l2的交点， 可设l:3x+2y-1+(5x+2y+1)=0， 即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0. ll3 ,解得= ,代入上式整理,得 l:5x+3y-1=0. 由于直线不包含l2,易验证l2不合题意.,学后反思 三种解法都能比较迅捷地解决问题，但方法一、二都是在两直线的斜率存在的前提下进行的，如果其中含有字母参数，则要进行分类讨论；运用直线系方程时则必须对直线系中不包含的直线进行检验，因此本题的三种解

8、法应该是各有优缺点.,举一反三,4. 已知两直线l1:x+2=0,l2:4x+3y+5=0,定点A(-1,-2),求过l1,l2的交点且与点A的距离等于1的直线l.,解析： 方法一：l1,l2的交点为 x+2=0, 4x+3y+5=0的解，即（-2，1）. 若直线l斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k(x+2), 即kx-y+(2k+1)=0. 因为所求直线与点A(-1,-2)的距离为1, 所以 ,得k= , 代入,得 所求直线l的方程为4x+3y+5=0;,若直线l斜率不存在，即判断过点（-2，1）且与y轴平行的直 线x=-2是否符合所求直线l的条件. 点A（-1，-2）到直线x=-2的距

9、离为1， 直线x=-2，即x+2=0也符合直线l的要求. 所求直线l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.,方法二：l1,l2的交点为（-2，1）. 过l1,l2交点的直线系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0,不包括l2,是参数，化简得(1+4)x+3y+(2+5)=0.,由点A（-1，-2）到直线l的距离为1,得 ,解得=0, 代入方程，得x+2=0.又因为直线系方程中不包含l2, 所以应检验l2是否也符合所求l的条件. 因为点A（-1，-2）到l2的距离为 =1, 所以l2也符合要求，所求直线l的方程是x+2=0或4x+3y+5=0.,题型四 对称问题,【例4】(14分)光线沿直线

10、l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.,分析 本题用光学原理得入射光线与反射光线关于直线l对称， 用对称点方法求出入射线上一点P关于l的对称点，再由两点式 写出方程.,解 方法一：由 3x-2y+7=0, x=-1, x-2y+5=0, 得 y=2, 即反射点M的坐标为(-1,2). .2 又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0）， 设点P关于直线l的对称点为P(x0,y0). 由PPl,可知kPP= , .5 而PP的中点Q的坐标为 , 又Q点在l上， .,联立 , (x0-5)-y0+7=0, .9 解得 x0=-1713, y0=-

11、3213, 即P点坐标为 . .11 反射光线过M(-1,2)和P . 根据直线的两点式方程,可得反射光线所在的方程为 29x-2y+33=0. 14,方法二：设直线x-2y+5=0上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点P(x,y),则 . .3 又PP的中点 在l上，, , .6 由 , x0= , y0= , 10 代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0, .12 即所求反射光线所在直线方程为29x-2y+33=0. .14,学后反思 比较两种解法可知，对于直线的对称问题，都是转化为点关于直线的对称或点关于点的对称问题来解决的；其中方法一通过求点关于直线的对称点坐标

12、，用两点式方程求解，方法二则利用了轨迹思想求对称直线的方程， 是求解曲线关于直线对称问题的通法.,举一反三 (2009北京海淀区模拟)若直线 :y=k(x-4)与 直线 关于点(2,1)对称，则直线 恒过定点 .,答案: (0,2),解析: 由已知，直线 恒过定点(4,0). 与 关于点（2,1）对称，而(4,0)关于(2,1)对称点 为(0,2), 恒过定点(0,2).,易错警示,【例】讨论直线ax+y-2=0与x-ay+3=0的位置关系.,错解 两直线的斜率分别是k1=-a,k2= , k1k2=-a =-1， 两直线垂直.,错解分析 错解中忽略了对实数a是否为0的讨论.,正解 若a=0,

13、则两直线方程分别为y=2和x=-3，显然两直线垂直；若a0,由k1k2=-a =-1知两直线垂直. 综上可知，两直线垂直.,考点演练,10. 若直线 :y=kx+k+2与 :y=-2x+4的交点在第一象限，求k的取值范围.,解析： 方法一：由题意易知k-2. 由方程组 y=kx+k+2, y=-2x+4,得交点坐标为 由题意，知 2-k2+k0, 4+6k2+k0,解得 k2. 方法二：如图，直线 表示过定点M（-1,2）,斜率为k的直线系，直线 过点A(2,0),B(0,4).要使l1与l2的交点在第一象限，由图知 k2.,11. 求直线 :2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直 线 的方程.,解析: 设 上的动点P（x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为 P , 则有 解得 P(x0,y0)在 上， 化简得：2x+11y+16=0,即为直线l2的方程.,12. 如图，过点P(2,1)的直线l分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|PB|最小时l的方程.,解析： 方法一：设直线l的方程为 (a2,b1), 由已知可得 (1)方法一： ab8. 当且仅当 ,即a=4