高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程知识导学案 新人教A版必修

1、3.1 函数与方程知识导学 函数的零点不是点，而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一实数，当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数f(x)的零点实际上就是方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0有几个实根，函数f(x)就有几个零点；方程f(x)=0有两个相等的实根，则称函数有一个二重零点或者说有一个二阶零点.一般地，函数f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0(aiR,i=0,1,2,3,n)至多有n个零点. 解方程是我们在数学学习过程中经常遇到的问题.但平时我们所解的方程都是代数方程，即整式方程、分式方程和无理方程，而对于含有指数和对数的方程，我们也只解一些极为

2、特殊的.对于大部分含有指数和对数的方程是很难用代数方法来解的，例如，对于方程lgx=3-x，我们要求出它的解比较困难，但我们可以用二分法求出它的近似解.用二分法求出的零点一般是零点的近似值.并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0,=0,0完成.对于二次函数在某个定义区间上的零点个数以及不能用“”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行.典题变式 求函数f(x)=2x3-3x+1零点的个数.答案：有3个零点.绿色通道本题表中数据同学们可自己计算验证，这里只给出符号，更清楚地看到区间的取法.典题变式 1.借助计算器或计算机，用二分法求方程ln

3、(2x+6)+2=3x在区间(1，2)内的近似解(精确到0.1).思路解析：用二分法解这个方程可以先构造函数f(x)=ln(2x+6)-3x+2，然后寻找这个函数的零点即可.答案：精确到0.1的近似值为1.3.2.求方程x3-3x10的近似解(精确到0.1).答案：近似解分别为x1-1.8，x20.4，x31.5.3.已知二次函数f(x)ax24xb(a0)，设关于x的方程f(x)0的两根为x1、x2，f(x)x的两实根为、.(1)若|-|1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|-|1，求f(x)的解析式.答案：(1)a24ab9.(2)f(x)=-x2+4x-2.绿色通道本题是一

4、道有关降低税率的应用题，涉及到农产品价格、征税标准、降低税率、预计收购量等多个量.通过审题，建立了税收f(x)(万元)和降低税率x的二次函数关系式，再运用二次函数的有关知识使问题得以解决.在题后又给出设问，目的是要用本节知识来解决问题.典题变式 某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求(1)2000年每台电脑的生产成本；(2)以1996年的

5、生产成本为基数，用二分法求1996年2000年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01).答案：(1)2000年每台电脑的生产成本为3 200元；(2)1996年2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.所求二次函数为y=-(x+1)2+4，即为y=-x2-2x+3.绿色通道从以上解法可以总结出二次函数解析式常用的三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a0)；(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a0)；(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数，a0).典题变式 1.已知函数y=2x2+bx+c在(-,-)上是减函数，在(-,+)上是增函数，且两个零点是x1、x2，满足|x1-x2|=2，求这个二次函数的解析式.答案：y=2x2+6x+.2.已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2