高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修

1、3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1能利用导数的四则运算法则求解导函数2能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导目标解读1重点是利用导数的四则运算法则求导2难点是导数公式的综合应用及复合函数的求导情景引入空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能见几条小鱼儿自由自在地游来游去微风过处，池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪我沉醉了，是啊！基本的是简单的美，复合的是深沉的美，生活如此，我们的学习又何尝不是呢？复合函数作为一个重要的知识点，它的导数如何求呢？提示：复合函数的求导建立在基本初等函数求导公式基础上，应

2、用复合函数的求导公式求解新知探究1复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系：yx .问题探究2：若复合函数yf(g(x)由函数yf(u)，ug(x)复合而成，则函数yf(u)，ug(x)的定义域、值域满足什么关系？提示：在复合函数中，内层函数ug(x)的值域必须是外层函数yf(u)的定义域的子集【例题讲解】例1 求下列函数的导数(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y；(4)y；(5)ysin

3、4cos4.【思路启迪】结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导；先化简，再求导【解】(1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3ex.(3)y().(4)y().(5)y(sin2cos2)22sin2cos21sin21cosx，y(cosx)sinx.点评：此类问题出错的主要因素一般有二：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；二是求导法则掌握不到位，尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆，导致运算结果出现错误对于复杂函数求导，一般遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性例2 求下列函数的导数

4、：(1)f(x)(2x1)2；(2)f(x)ln(4x1)；(3)f(x)23x2；(4)f(x)；(5)f(x)sin(3x)；(6)f(x)cos2x.【思路启迪】抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则【解】(1)设yu2，u2x1，则yyuux2u(2)4(2x1)8x4.(2)设ylnu，u4x1，则yyuux4.(3)设y2u，u3x2，则yyuux2uln233ln223x2.(4)设y，u5x4，则yyuux5.(5)设ysinu，u3x，则yyuuxcosu33cos(3x)(6)方法一：设yu2，u

5、cosx，则yyuux2u(sinx)2cosxsinxsin2x；方法二：f(x)cos2xcos2x，所以f(x)(cos2x)0(sin2x)2sin2x.点评：求复合函数的导数需处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数例3 已知函数f(x)ln(1x)xx2(k0)当k2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程【思路启迪】利用复合函数的求导法则和导数的几何意义求解【解】当k2时，f(x)ln(1x)xx

6、2，f(x)12x.由于f(1)ln2，f(1)，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yln2(x1)，即3x2y2ln 230.(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程例4 函数yxe12x的导数为_【解】ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.【课堂小结】1利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导遇到函数的表达式是乘

7、积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导2对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量3求曲线的切线方程一般有下列两种情况：一是求曲线在点P处的切线方程，这时P点在曲线上，且P一定为切点二是求过点P与曲线相切的直线方程，这时P点不一定在曲线上，不一定为切点做题时，一定要仔细读懂题意，分清所求切线方程为哪种情况，以便于找准正确的解题思路【当堂检测】1函数y的导数是()A. B.C D解析：函数y是由函数f(u)和函数u(x)3x1复合而成的，其中u是中间变量yxf(u)(x)(2u3)3.答案：C2函数yxln(2x5)的导数为()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.解析：yxxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x(2x5)ln(2x5).答案：B 3已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2解析：设切点为(x0，y0)，则y0x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)，对yln(xa