大数定律与中心极限定理.ppt

1、4 大数定律与中心极限定理,首先，我们介绍一下切比雪夫（Chebyshev）不等式.,定理一 （切比雪夫（Chebyshev）不等式） 设随机变量 具有数学期望 方差 则对于任意正数 不等式,成立.这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev）不等式.,证 我们只就连续型随机变量的 情况来证明，图4-2 设 的概率密度为 , 则有（如图4-2）,证毕.,切比雪夫（Chebyshev）不等式也可以写成如下的形式：,这个不等式给出了:在随机变量 的分布未知的情 况下,事件 的概率的下限的估计.,即任何随机变量分布在以 为中心, 为半径的区 域内的概率不小于,例如，在（4.1）式中取 得到,例1 设试

2、用切比雪夫不等式估计,解 令 则,故:,在第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数.在实践中人们还认识到大量测定值的算术平均值也具有稳定性.这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景.,定义,(1) 若对任意的 有,则称随机变量序列 依概率收于 ,记 为,(2) 对随机变量序列,记 ,若 则称 服从大数定律.,定理二（切比雪夫大数定理）,设随机变量两两互不相关，每一随机变量都有有限的方差，并且它们有公共上界 ，则对于任意正数 ，有,（4.2）,证明 由于 两两相互不相关，故,在上式中 令并注意到概率不能大于1，即得,再由切比雪夫不等式

3、可得：,定理三（切比雪夫大数定理的特殊情形）,设随机变量 相互独立，且具有相同的 数学期望和方差 .作前n 个随机变量的算术平均 ,则对于任意 正数 ，有,（4.3）,证明 由于,在上式中 并注意到概率不能大于1，即得,由切比雪夫不等式 可得：,定理二表明:当 很大时，随机变量 的 算术平均 接近于数学期望,这种接近是在概率意义下的接近.即在定理的条件下， 个随机变量的算术平均，当 无限增加时几乎变成一个常数.,设 是一个随机变量序列， 是一个常数.若对任意正数 ，有,则称序列 依概率收敛于 . 记为,依概率收敛的序列还有以下性质,设 又设函数 连续，,这样，上述定理三又可叙述为 设随机变量

4、相互独立，且具有相 同的数学期望和方差 则序列 依概率收敛于,则,即,定理四 （贝努利大数定理）,设 次重复独立试验中事件 发生的次数. 是事件 在每次试验中发生的概率，则对任意正数 ，有,或,证明 因为 ，由第四章2例7，有,其中 相互独立，且都服从以 为参数 的（0-1）分布.因而,由定理三 得,即,贝努里大数定理“表明事件发生的频率 依概率收敛于事件发生的概率 ” .,这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.就是说“当 很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小”.在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,定理三中要求随机变量 的方差存在.但在

5、这些随机变量服从相同分布的场合，并不需要这一要求，我们不加证明地给出如下的辛钦定理.,定理五 （辛钦大数定理）,设随机变量 相互独立，服从同一分 布，具有数学期望则对于任意正 数 ，有,例2 设序列 独立同分布于 ,问 时 依概率收敛于多少？,解 由条件知独立同分布,且,显然贝努里大数定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦定理在应用中是很重要的.,从而由辛钦大数定理知.,定理六 （独立同分布的中心极限定理）,设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差,则随机变量之和 的标准化变量,的分布函数 对于任意 满足,定理六也称列维林德贝格定理.,这就是说，均值为 ，方差为 的独立同分 布的随机变

6、量 之和 的标准化变量，当 很大时，有,在一般情况下， 很难求出 个随机变量之和 的分布函数，（4.8）式表明，当 充分大时，可以通过 给出其近似的分布.这样，就可以利用正态分布对 作理论分析或作实际计算.,这是独立同分布中心极限定理结果的另一形式.这就是 说，均值为 ，方差为 的独立同分布的随机变量 的算术平均 ，当 分大时， 近似地服从均值为 ，方差为 的正态分布.,将（4.8）式左端改写成这样，上述结果可写成,这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.,例3 设甲、乙两商场销售某商品竞争2000位顾客,若每位顾客完全随意的选择一个商场,且其选择相互独立,问每个商场应组织多少件货源才能保证

7、因脱销而使顾客离去的概率小于1？(设每位顾客只购该商品一件).,解 由于两商场情况相同,故仅考虑甲商场,设甲商场组织了 件货源,令,则 独立同分布,再设 ,则 表示选择了甲商场的顾客总数,即,查表得 ,于是 件,从而每个商场 应组织1052件货源,才能保证因脱销而使顾客离去的概率小于1.,由中心极限定理: 近似服从,由题意要求,下面介绍另一个中心极限定理，它是定理五的特殊情况.,定理七 （棣莫弗拉普拉斯定理）,设随机变量服从参数为 的二项分布，则对于任意 有,证明 由第四章2 例7知可以将 分解成 个相互独立、服从同一（0-1）分布的随机变量 之和，即有,其中 的分布律为 由于由定理五有,这个

8、定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.当 充分大时，我们可以利用（4.11）式来计算二项分布的概率.下面举几个关于中心极限定理应用的例子.,例4 某厂有400台同类型的机器,每台机器发生故 障的概率都是0.02,假设各台机器是否出故障互不 影响.试用三种不同的方法求发生故障的机器的台 数不小于2的概率.,解 设出故障的机器的台数为 .,方法一:用二项分布,因为 服从二项分布,方法二:用泊松分布作近似计算.,所以,所以,方法三:用中心极限定理. ,故 近似服从 从而,此例说明当 很大， 很小时用泊松分布比用正态分布计算较为准确.,思考,1.在离散型随机变量的数学期望定义中，为何 要求绝对收敛？

9、,3.有人说:“ 与 相互独立的充分必要条件是 .”请问对吗？,2.有人说，若：“ 则 ”.请问对吗？,4.从废旧物资回收站收购的废铁叫再生铁，在钢的冶炼中，通常加入再生铁一起冶炼，由于再生铁来源于不同的地方，因而，一批再生铁中不同的废铁所含的杂质（通常杂质是指：碳，硅，锰,砱，硫等）也不同，而冶炼前需要知道该批再生铁所含杂质的平均值，以便加入相应的配料.假设每次化验均需3克充分混合的样品，且这3克样品都全部一次化验完；现在一些工厂的做法是:随机地从该批再生铁中取一个样品，然后从中取3克后进行化验，化验所得的杂质百分比即视为整批再生铁的杂质百分比，但这样化验的结果通常与实际值会有较大误差，从而

10、导致配料的加入不适当.事实上，每次样品的提取是极其简单的，样品的提取费用几乎为零，且每次提取样品的最小值可精确到0.05克，而每次的化验费用则较贵，试根据大数定律，设计一个经济合理的样品提取方案，使得化验的杂质百分比与整批再生铁的杂质百分比几乎一致.,思考,5“股市有风险，投资需谨慎”，现在沪深两地上市的股票已近两千支.记股市首日开市时为零时( )，股市首日开市时所有上市的股票综合指数记为100点.设至时刻 已有 家上市公司的股票纳入指数计算,记 为股市开市时刻 第 家上市公司的股票总股数( ，时刻到时刻新增加第 家上市公司的 股计入指数；记 为 时刻第 家上市公司的股票单价， 时刻股票的权重

11、 是指该上市公司总股价 占全部上市公司股票总股价的份额：,思考,所谓股票指数是将各支股票涨跌的幅度乘以其权 重作和的值，为股市开市时刻全部上市公司股票 的综合指数， 设 时刻 到 时刻各家上市公司的总股数不变, 即 ,则证交所 时刻与时刻的综指的递推计算公式为,例如：单支股价为5元，而今日收盘时该支股票的单价为5.1元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百分之二，上证综指前一日收盘时的指数是3500点，而今日收盘时的指数是3675点，这表示一天之后，上交所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然，在这一天的交易中，各支股票有涨有跌，即使在股票大涨的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁.假设某人现有30万元现金急需投资股市，而现在股市各股的平均股