高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学案 新人教A版必修

1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标：1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义 2理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算 3理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有 关共线向量问题学习重点：了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义学习难点：了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义一知识导学1向量数乘运算实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：(1)|a| . (2)a(a0)的方向； 特别地，当0或a0时，0a 或0 .2向量数乘的运算律(1)(a) .(2)()a .(3)(ab)

2、.特别地，有()a ；(ab) .3共线向量定理向量a (a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使_.4向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2b) .二探究与发现【探究点一】向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？(2)已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？（3)已知非零向量a，你能说明实数与向量a的乘积a的几何意义吗？【探究点二】向量数乘的运

3、算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设，R，则有(a)()a； ()aaa； (ab)ab.【探究点三】共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a0)与b共线，当且仅当存在一个实数，使ba.判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在【探究点四】三点共线的判定由共线向量定理可得，A，B，C三点共线存在R，使.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，则存在、R，使，其中1.推论2：已知O为平面

4、ABC内任一点，若存在，R，使，1，则A、B、C三点共线【典型例题】例1计算：(1)(3)4a；(2)3(ab)2(ab)a；(3)(2a3bc)(3a2bc)跟踪训练1计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac) 例2已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由跟踪训练2已知两个非零向量e1和e2不共线，如果2e13e2，6e123e2，4e18e2，求证：A、B、D三点共线例3如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且a，b，你能用a、b表示、和吗？跟踪训练3如图，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：.三巩固训练1化简：(1)8(2abc)6(a2bc)2(2ac)；(2).2如图，.求证：.3已知e1与e2不共线，e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线4若非零向量a与b不共线，kab与akb共线，试求实数k的值四课堂小结1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着