6.2 Lyapunov第二方法.ppt

1、6.2 李雅普诺夫第二方法,为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方法: 第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。 第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性，因此又称为直接法。,李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。,正定函数 V(x) = Ci 0 的等值线示意图：这是一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退缩的曲线。,Lyapunov第二方法的一般理论,几何解释,由于V(x)正定， V(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随 而向原

2、点退缩。又由 半负定知V(x)的值沿着运动轨道只能减小或保持定值而不会增加，这表明系统关于原点（零解）是稳定的。,几何解释： 由于v(x)正定， v(x)=C是一个闭的曲面族，层层相套、随C 趋向于零而向原点退缩。而dv/dt 负定则说明：在任一点x处，v(x) 的值都是减小的，从而在任一点x 处，运动的轨线都从v(x)=C的外部穿越v(x)=C 走向内部。这表明，limt0 x(t)=0，即原点（零解）是渐近稳定的。,例:考虑如下系统关于零解的稳定性：,首先构造一个正定函数：,例：考虑小阻尼线性振动系统：,易于验证，这是一个正定函数。,求出 V 沿微分方程解的导数：,因此，系统关于零解必是渐

3、近稳定的。,例：考虑系统：,例：考虑小阻尼线性振动系统：,此时只能判断系统李氏稳定，尽管事实上该系统是渐近稳定的。,定理5*,则（4.20）的零解渐近稳定。,注： 这是充分条件，对必要条件的研究：Lyapunov逆定理 Lyapunov函数的构造问题,定理7-25 时不变动态方程 的零解是渐近稳定的充分必要条件是对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的正定对称阵P，使得,（744）,三、线性系统二次型 V 函数,证明：充分性：若对任给正定对称阵Q，都存在唯一的正定对称阵P，使(7-44)成立，要证明系统渐近稳定。为此，构造 Lyapunov 函数：,对其沿方程的解微分，有,由定理7-21*知零

4、解渐近稳定。,必要性：若dV/dt=Ax渐近稳定，要证明对任意给定的对称正定阵Q，有唯一的正定对称阵P存在，使得(?)成立。为此，考虑矩阵微分方程,不难验证其解为,对,积分并注意到系统渐近稳定的假设， 有,P阵的唯一性：为此将方程（7-44）写成,两式相减得,因此，,又,几点说明：,矩阵方程（744）给出了构造这个二次型v函数的具体途径，在指定正定对称的Q阵后可求解（7-44）所定义的(1/2)n(n+1)个未知量的代数方程组。定理的结论表明A若是渐近稳定时，这个代数方程组有唯一解存在;,2. 在求解（744）时比较简单的是取Q为单位阵;,例7-9 考虑二维系统,求系统渐近稳定时参数应满足的条

5、件。 令Q=I，由（7-44）式可得,上述方程组的系数矩阵A1的行列式为,若detA10，方程组就有唯一解，其解为,由P正定的Sylvester 判据可得,(3)、(4)即系统渐近稳定时参数应满足的条件。,定理7-26 若定理7-25（7-44）中的N取为半正定对称阵，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒为零，则矩阵方程,ATX+XA=N （7-46）,注：关于定理7-26 “xTNx沿方程的非零解不恒为零”的条件不能少。 例1: A渐近稳定，N半正定，不能保证M正定,这是因为xTNx沿方程的非零解恒为零。事实上，容易算出,若将N分解为 N=1 0T1 0:=CTC，则易于验证 (A，C)不

6、可观测。,例2. N半正定，M正定，不能保证A渐近稳定。,分析：1. xTNx沿方程的非零解,2. 令C=1 0, N=CTC, 可知(A, C)不可观测。,但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒为零，即沿非零解恒为零。,xTNx沿方程的非零解不恒为零，这时(A, C)可观测,定理满足。,例3：,结论： “xTQx沿方程的非零解不恒为零, ”可用(A, C)可观测代替，这里Q= CTC。进而，我们有：,定理7-26* 时不变动态方程 的零解渐近稳定的充分必要条件是对应的Lyapunov方程,（744）,在给定（A, Q)为可观测的半正定阵Q下，方程(7-44)的解P为正定。,关于定理的证

7、明： 因为N为半正定矩阵，总可以将其分解为 Q=CTC 的形式。易于证明（例如用反证法），(A, Q)可观测可推得(A, C)可观测。 必要性证明：类似于定理7-25：由系统零解已渐近稳定，则任给使(A，Q)可观测的半正定阵Q，由积分,确定的矩阵P必满足(7-44)且为正定（可观测性Gram矩阵）。,充分性证明：若在给定（A, Q)为可观测的半正定阵Q下，方程(7-44)的解P为正定，要证此时系统必定渐近稳定。为此，考虑,这说明使 的x是零解，即沿方程的非零解dV/dt不恒为零。由定理7-21*，系统必渐近稳定。 证完。,例题7-11： 考虑如下三阶多项式：,注: 以上证明可以去掉，根据“(A

8、,C) 可观测当且仅当 =0”这一命题就立即可以看出x00。,令,定义系统如下：,假定D0(s)和D1(s)无公因子。则D(s) 为Hurwitz 多项式当且仅当系统g(s)稳定。将D0(s)/D1(s)展开：,试证明劳斯判据：系统渐近稳定当且仅当劳斯表的第一列所有元素大于零。,则,不难验证，g(s)可由下列系统实现：,这是一个最小实现，系统可控可观测。现用Lyapunov 直接方法研究以上系统零解的渐近稳定性。为此定义N为,显然，(A, N)可观测。解方程,得到,欲使M正定，只要10, 2 0, 3 0。,一般情形下劳斯判据的证明完全类似，参见Chi-Tsong Chen, “Linear

9、System Theory and Design ”p.417.,四、关于Lyapunov 函数,应当特别注意定理7-20*-7-21*均为充分条件。这意味，即便我们不能构造出满足系统稳定的v函数，也不能因此断言系统不稳定。要证明系统不稳定，须找出满足不稳定定理的v函数（参见高为炳运动稳定性基础）；,不通过求解微分方程而能对系统的稳定性作出结论的标量函数称作系统的一个李雅普诺夫函数；,如何构造v函数是一个复杂的问题。即使满足某系统的 v 函数理论上存在，要找到其解析的表达式仍非易事。寻求构造 v 函数的一般方法的企图是不现实的。但对于线性系统，存在一些构造 v 函数的方法。,本节对线性系统介绍了构造二次型李氏函数的方法，即定理7-25、定理7-26及定理7-26*，是基于以下考虑： 介绍李雅普诺夫方程(7-44)： ATM+MA=N， 这是系统理论中很多问题要涉及的方程； 线性系统的李氏函数经过一些变动后，往往可以得到对一类非线性系统合适的 v 函数; v函数不仅用于研究稳定性，还可以用来讨论系统的品质及系统的综合;,有时我们会说找到了一个更