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文档简介
1、,第六节,一、泰勒公式,二、泰勒级数,幂级数在函数逼近中的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十章,三、幂级数在近似计算中的应用,本节内容:,对于一些较为复杂的计算,为了便于研究,我们往往希望用一些简单的函数来近似表达某函数.我们常用多项式来近似表达函数,称为用多项式来逼近函数。,在微分应用中,我们已经知道,当变量的绝对值很小时,有如下的近似计算:,显然,在 x=0处,这些多项式及其一阶导数的值,分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值。,第六节 目录 上页 下页 返回 结束,但是这种表达式还存在不足之处就是精度不高,对于精度要求较高且需要估计误差的情形,往往须用高次多项式来近似表达函
2、数,同时给出误差公式。,一、泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1,的某领域内有直至,阶导数,则对此领域内任何一个 ,有,称为泰勒公式,其中,叫做余项,,之间。,容易验证当,设函数,在,在,与,泰勒公式称为麦克劳林公式。,时,就是微分的拉格朗日中值定理。特别地,取,时,泰勒公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 写出函数,解: 因为,当,迈克劳林展开式为,其中,,的麦克劳林展开式。,时,得,为余项,其含义是将f(x)展开到(x-x0)的n次幂。,Seriesf(x),x,x0,n,机动 目录 上页 下页 返回 结束,我们也可以利用Mathematica软件来展开函数,其
3、,语句为:,对于本例,如果n=6,则,其中ox7为余项。,其误差不超过万分之一。,当n=6,x=1,时,可以算出,数,二、泰勒级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2 设函数,为函数f(x)在f(x0),特别地,当取,称为,的麦克劳林级数。,则称级数,的某领域内具有任意阶导,在,的泰勒级数。,时,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二是该级数是否收敛于函数,定理 设,收敛于,的充要条件是泰勒公式的余项满足,在此领域内,泰勒级数,同样地,麦克劳林级数,条件是泰勒公式的余项满足,一是该级数在什么条件下收敛,,泰勒级数是泰勒多项式从有限项到无限项的推广,,带来了两个问题:,。,。,的某领域
4、内有任意阶导数,那么,在,的充要,收敛于的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 将,解:,(1)先求出,处的值,,当n=2m时,,当n=2m-1时,的幂级数。,展开成,分别算出在,(2),写出麦克劳林级数:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为对于,(3)求级数的收敛半径,所以级数的收敛区间为,。,有,,或收敛区间余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),利用麦克劳林公式,不难得出几个常用的初等函数,的幂级数展开式:,(3),(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(5),(4),(6),三、幂级数在近似计算中的应用,在经济和工程技术领域中,常常涉及近似计算问题,例如在
5、债券理论中,为了研究收益率对价格的影响,往往利用泰勒级数的前两项或前三项来近似计算,并根据近似计算公式研究债券的性质,为复杂的债券投资组合提供依据。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由函数产生的泰勒级数是函数的精确表达式:,只要,来估计。,适当小,可用级数前几项部分和来作近似,计算,这种近似计算还是具有相当精确度的,而且,所产生的误差可以由余项,P(y)的二阶导数为,欧拉 目录 上页 下页 返回 结束,变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为,我们来研究幂级数近似计算在固定收益证券中的,是各期现金流的现值和,CFt,它的现值为,应用对于总期限为的付息债券而言,其价格的,,那么债券的
6、理论价格就,P(y)的二阶导数为,根据泰勒级数公式,债券价格P(y)的近似计算公式为,将一阶导数和二阶导数代入上式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或者,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,令,D是债券现金流的加权平均期限,被称为修正的久期,表示不同的现金流支付的时间加权平均,其中的权数是该时间所支付的现金流CFt的现值占整个现金流P的百分比,修正值为(1+y)-1.经济含义是债券产生的现金流的平均回收期,反映了债券价格对收益率的弹性,是研究债券特性和进行债券组合的重要指标。,C被称为债券的凸性,债券凸性是时间乘积t (t+1)的加权修正值,权数是现金流CFt的现值占整个现金流P的百分
7、比,不同于久期的是,其修正值为(1+y)-2。,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此,债券价格的近似公式简化为,例3 面值为100元的上海世博一期债券期限为7年,每年利息为4元,市场价格为105元求债券的修正久期的凸性,当收益率上升0.01时,世博债券的价格变化。,设 债券的收益率为,则债券的价格等于现金流的总现值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用Mathematica软件,首先定义价格方程,所得现金流为(4+100)元。,解每份债券前六年的现金流为4元,第七年还本付息,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于收益率y介于0和1之间,所以y0=0.0319,当P0=105元时的
8、y0值,求修正久期,修正久期为6.07052。,求凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当收益率上升0.01的时候,世博债券的价格变动幅度为,因此,债券的近似计算公式为,即债券的收益率上升100个基点(0.01),债券的价格大约下降5.84%,有关幂级数的近似计算,也可以直接利用Mathematica软件中函数Series 的功能,它将按照要求将目标函数展开为泰勒级数的前n次幂项,并用o n+1表示余项。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 (1)定义价格函数。,例4.利用Mathematica软件的幂级数功能函数Series 计算例3的问题。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2
9、)利用Series 求解债券价格的展开式。,即,P105.01-637.4(y-0.031 9)+2 376.46(y-0.031 9)2,(3)计算债券的价格变动、久期和凸性。,将y=0.041 9代入上式,可得P=98.87,,价格变动幅度=(98.87-105)105=5.83%,,修正久期为,凸性为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 (1)利用Mathematica软件,首先定义债券的价格函数。,例42006年某期面值为100 元的附息国债的年限为5年,每年利息为3.7元,如果债券的收益率为4%,求债券的修正久期和凸性。,Out23=98.664 5-441.43(y-0.04)+1 242.32(y-0.04)2+oy-0.043,(2)求y=4%,n=2时,泰勒级数的展开式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)求修正久期和凸性。,债券的修正久期,债券的凸性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,本节小结:,2.泰勒级数的定义,1.
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