分界面的衔接条件边值条件.ppt

1、授课计划chap1-2,重点内容回顾 及疑难解答,教 学 内 容,主要知识点,重点 难点,思考题 与作业,备注,预习1-4，1-5,1-3 静电场基本方程与分界面上的衔接条件 积分方程、微分方程、分界面的衔接条件 1-4 静电场边值问题 位函数方程； 边值问题的概念、分类、建立、求解。 总结,1.微分方程 2.分界面的衔接条件 3.边值问题的建立 4.简单位函数方程的求解,1. 场点、源点的概念 2. 场源与电荷的对应关系 3. 电场强度与电位的计算 4. 参考电位的选取 5. 导体与电介质的特性 测验：电场强度与电位的计算公式,本讲主要内容,或,1. 分界面衔接条件,2. 边值问题及其分类,

2、3. 边值问题的建立（难点*）,4. 边值问题分析方法概述,上一讲主要内容回顾,1. 源点、场点的概念,2. 电场强度、电位的积分公式,3. 电场强度与电位的对应关系,4. 导体、电介质在电场中的性质。,5. 极化电荷的作用及其分布。,6. 真空与电介质中的高斯定理及其应用。,1-3 静电场基本方程 与分界面上的衔接条件,1. 积分形式的基本方程（物理中学过） 2. 微分形式的基本方程（重点） 3. 两种介质分界面的衔接条件（难点）,1. 积分形式的基本方程,2. 微分形式的基本方程,由高斯散度定理可得,由斯托克斯定理有,它表明基本变量E在闭合回线上的环量特性。,表明源（电荷）与场 之间的对应

3、关系。,小结：,静电场是有源场。,静电场是无旋场。,例,解一：电场明显具有球对称性，D沿半径方向 且大小只是r的函数。球的电荷总量为,例 (解法一结果),当r=a时，同理可得：,当r=a时，应用积分形式的高斯定律，可求得,3.两种介质交界面的衔接条件,介质中静电场的基本方程,1)交界面法线方向的衔接条件,柱面hS,式中是分界面上 的自由电荷密度。当分界面上没有自由电荷时，有,对于此闭合面，高斯通量定律写成,或写成,例 (解法二),解：利用微分形式的散度方程求解。,对于球外的点(r=a), 有：,对于球内的点(r=a)，散度方程为：,(r=a),(r=a),由边界条件可知，当r=a时，D1=D2

4、,(r=a),对比,(r=a),确定系数C1、C2,例,计算均匀电荷面密度为的无限大平面的电场。,解：如图所示取柱形闭合面,无限大,注意侧面上D0 的通量为零。因此求得D0=/2 ,用矢量式表示时，为,根据高斯定律,2)分界面切线方向的衔接条件,电场强度在矩形回路上的环量为零,导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；,导体与电介质分界面,例,解,导体中 E10 ，D1=0,导体表面上任一点的 D 等于该点的 。,下 页,上 页,试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。,分界面衔接条件,分解面介质侧,表明,介质分界面衔接条件小结,当分界面上没有自由电荷时，有,或,折射定律,忽略边缘效应,图(a),

5、图(b),试求两个平板电容器的电场强度。,下 页,上 页,平行板电容器,例,解,1-4 静电场边值问题,1.静电场位函数方程 2.边值问题及其分类 3.边值问题的建立 4.边值问题的分析方法概述,1.静电场位函数方程 泊松方程与拉普拉斯方程,由静电场微分形式的基本方程,静电场泊松方程,静电场拉普拉斯方程,=0时,是矢量算子，但 是标量算子。,拉普拉斯方程展开式,Laplaces equation,cartesian,cylindrical,spherical,介质分界面上位函数的衔接条件,在不同的介质分界面上,电场强度的切向分量连续的衔接条件用位函数表示为,电位移法向分量的衔接条件用位函数表示

6、为,例,半径为a 的带电导体球，已知球体电位为U(无穷远处电位为零)，试求球外空间的电位函数分布。,解：,球坐标系位函数拉普拉斯方程为,电场强度可由电位的负梯度求得到：,2.边值问题及其分类,第一类边界条件：场域边界上的电位值是给定的 第二类边界条件：场域边界上电位的法向导数值是给定的 第三类边界条件：混合边界条件 注：场域周界的边界条件与介质分界面衔接条件是 两个不同的概念,边值问题： 泛定方程+定解条件=边值问题,试写出图示静电场的边值问题。,下 页,上 页,返 回,例,解,大地以上空间：,试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。,根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题,（阴影区域）,下

7、页,上 页,返 回,缆心为正方形的 同轴电缆,例,解,2.静电场的唯一性定理（Uniqueness Theorem),研究给定怎样的条件静电场解是唯一的。,下 页,上 页,返 回,唯一性定理 ：,在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的。,或：方程一定，边界条件一定，解就是一定的。,唯一性定理的证明 ：,证明（反证法）,3. 唯一性定理的意义,图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,给出了唯一确定静电场问题的解所需满足的条件。,下 页,上 页,平板电容器外加电源U0,例,可用以判断静电场问题解的正确性。,图示无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。,下

8、 页,上 页,例,解一,应用高斯定律,任一点的电位,下 页,上 页,解二,解边值问题，场为轴对称，取圆柱坐标,通解,边界条件,图示长度为l 的同轴电缆（lR），内外导体带电荷Q，求内外导体间的电场分布。,下 页,上 页,返 回,例,解一,应用高斯定律，以外导体为电位参考,解二,解边值问题，,通解,边界条件,图示充以两种介质的无限长同轴电缆，内导体加电压U，外导体接地，求内外导体间的电场分布。,下 页,上 页,返 回,例,解,解边值问题，,通解,边界条件,通解,试求体电荷产生的电位及电场。,采用球坐标系,分区域建立方程,边界条件,参考电位,下 页,上 页,返 回,体电荷分布的球体,例,解,电场强度（球坐标梯度公式）：,得到,随r变化曲线,下 页,上 页,返 回,例,z方向无限长的矩形金属槽如图所示，在x=0，x=d和y=0的边界上电位均为零, 在y=h的边界上, 试写出金属槽内电场的位函数边值问题方程及其通解表达式（不需求解待定系数）。（4分）,d,h,X,Y,0V,0V,0,0V,0V,4.边值问题的分析方法概述,边值问题的求解,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,间接法,球坐标系,分离变量法,直角坐标系,圆柱坐标系,保角变换法,复位函数法,镜像法（电轴法）,边界元法,矩量法,直接解方程,&1-5,&1-7