高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.2 命题的四种形式素材2 新人教B版选修2-1（通用）

1、1.3.2 命题的四种形式课堂导学三点剖析一、四种命题【例1】 把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)当x=2时，x2-3x+2=0;(2)对顶角相等；（3）末位数是0的整数，可以被5整除.解析:（1）原命题：若x=2,则x2-3x+2=0.逆命题：若x2-3x+2=0，则x=2.否命题:若x2,则x2-3x+20.逆否命题:若x2-3x+20,则x2.（2）原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.（3）原命题：若一个整数末位数是0，

2、则这个整数可以被5整除.逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数末位数是0.否命题：若一个整数末位数不是0，则这个整数不能被5整除.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数末位数不是0.温馨提示 原命题：“若p则q”.其逆命题：“若q则p”.其否命题：“若p则q”.其逆否命题：“若q则p”.二、四种命题真假性之间的关系【例2】 判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时，判断这些命题的真假.（1）若ab,则ac2bc2;(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形;(3)若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4acbc2,则ab.为真.否命题：若ab,则a

3、c2bc2.为真.逆否命题：若ac2bc2,则ab.为假.（2）该命题为真.逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真.（3）该命题为假,当b2-4ac0时，二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.逆命题：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点，则b2-4ac0,为假.否命题：若在二次函数y=ax2+bx+c中，b2-4ac0，则该二次函数图象与x轴没有公共点.为假.逆否命题：若二次

4、函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点，则b2-4ac0.为假.温馨提示 原命题与其逆否命题的真假性相同，而与其否命题、逆命题间的真假性没有必然的联系.三、有关四种命题真假性的证明【例3】已知函数f(x)是（-,+）上的增函数,a、bR，对于命题“若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”.(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解析：（1）逆命题是：若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0,真命题.用反证法证明：假设a+b0,则a-b,b-a.f(x)是(-，+)上的增函数，则f(a)f(-b)，f

5、(b)f(-a),f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).这与题意相矛盾，逆命题为真.（2）逆否命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b4,则x-2”的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假.解析：逆命题：若x-2,则x24(真)否命题：若x24则x-2(真)逆否命题：若x-2,则x24(假)类题演练 2分别写出下列命题的逆命题、否命题,逆否命题,并判断它们的真假.(1)若q1,则方程x2+2x+q=0有实根;(2)若ab=0,则a=0或b=0;(3)若x2+y2=0,则x、y全为零.解：(1)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,真命题.否命题:若q1,则方程x2+

6、2x+q=0无实根,真命题.逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,真命题.(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0,真命题.否命题:若ab0,则a0且b0,真命题.逆否命题:若a0且b0,则ab0,真命题.(3)逆命题:若x、y全为零,则x2+y2=0,真命题.否命题:若x2+y20,则x、y不全为零,真命题.逆否命题:若x、y不全为零,则x2+y20,真命题.变式提升 2判断命题：“若a0，则x2+x-a=0有实根”的真假.解析：写出逆否命题，再判断其真假原命题：若a0,则x2+x-a=0有实根逆否命题：若x2+x-a=0无实根，则a0.判断如下：x2+x-a=0无实根.=1+4a0,a0,“若x2+x-a=0无实根，则a0”为真命题原命题为真命题.类题演类 3若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明：（用反证法）假设a、b、c都不大于0，即a0,b0,c0,则a+b+c0,而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3,-30,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,a+b+c0.这与a+b+c0矛盾，因此，a、b、c中至少有一个大于0.变式提升 3已知a、b、c是一组勾股数，即a2+b2=c2，求证：a、b、