方阵的特征值和特征向量.ppt

1、1,引例,定义,特征值与特征向量的求法,特征值与特征向量的性质,第 二 节 方阵的特征值与特征向量,2,一、引例,映射的对应法则：,a R2 Aa R2 .,特征值与特征向量有些什么性质？,是否任何一个方阵都有特征值与特征向量？,3,二、矩阵的特征值,与特征向量的概念,设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n维非零列向量 x,使关系式 Ax = x 成立，,数 称为方阵 A 的特征值，,非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.,1. 定义,| A - E | = 0 ，,(A - E) x = 0 ，,这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组，,它有非零解的充分必要条件是系数行

2、列式,4,以 为未知数的一元 n 次方程，称为方阵 A的特征方程.,f ( )= | A - E | 是 的n次多项式，称为方阵 A 的 特征多项式.,A 的特征值就是特征方程的解.,n 阶矩阵 A 有 n 个特征值.,5,2. 特征值的性质,(2) 12 n = | A |.,设 1 , 2 , , n 是 n 阶矩阵 A = (aij) 的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) ,(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,证明 多项式根与系数的关系.,6,三、特征值与特征向量的求法,Step 1 ：计算 A 的特征多项式，求出特征方程的 所有根

3、. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值,1 , 2 , , s .,Step 2 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2, ,s ),求解齐次线性方程组 (A - i E ) x = 0，,方程组的解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部特征向量.,7,例 7,求 A 的特征值与特征向量.,解,A 的特征多项式为,所以，A 的特征值为,8,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,9,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,10,例 8,求 A 的特征值与特征向量.,解,A 的特征多项式为,所以，A 的特征值为,11,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,12,例 9,求 A 的特征值与特征

4、向量.,解,A 的特征多项式为,所以，A 的特征值为,13,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,14,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,15,当,时, 解方程组,解之得基础解系为,16,例 10 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E .,由 A2 = E 可得,(A + E)(A- E) = 0,由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值,|A + E| 0.,因而 A + E 可逆.,在 (A + E)(A- E) = 0 两端左乘(A + E)-1即可得 A = E.,证明,17,例 11 设 A 为可逆

5、矩阵, 为 A 的特征值, p 为对应的特征向量, 证明:,分别为 A-1 与 A* 的特征值, p 分别为 A-1 与 A* 对应的特征向量.,证明 P.120,18,例 12 设 是方阵 A 的特征值. (1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + + amm , A = a0E+ a1A + + amAm , 证明 是 A 的特征值.,19,例 13 设三阶矩阵 A 的特征值为,设矩阵,试求: (1) B 的特征值; (2) | B |.,解,故 A* = | A | A-1 .,因 A 的特征值全不为 0，所以 A 可逆，,而 | A |

6、= 123 = -2，所以,可得 B 的特征值为,20,定理 2 设 1 , 2 , m 是方阵 A 的 m 个特征值,p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征向量.,如果 1 , 2 , m 各不相等,则 p1 , p2 , , pm 线性无关.,四、特征值与特征向量的性质,证明 P.120,21,例 14 设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，,对应的特征向量依次为 p1 , p2 ,证明 p1 + p2 不是 A 的特征向量.,证明,Ap1 = 1 p1 , Ap2 = 2 p2 ,反证法：假设 p1 + p2 是 A 的特征向量，存在数 , 使,1 p1 + 2 p2 = A( p1 + p2 ) = ( p1 + p2 ),(1 - ) p1 + (2