2.1.2椭圆的简单几何性质(1)

1、1,2.1.2 椭圆的简单几何性质（1）,高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程,2,复习：,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,3,二、椭圆 简单的几何性质,-axa, -byb 知,1、范围：,椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中,4,椭圆的对称性,5,2、对称性：,从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对

2、称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。,坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，叫椭圆的中心。,6,3、椭圆的顶点（截距）,令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,7,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A1,B1,A2,B2,B2,A2,B1,A1,8,4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量),离心率：椭圆的焦距与长轴长

3、的比：,叫做椭圆的离心率。,1离心率的取值范围：,2离心率对椭圆形状的影响：,0e1,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆,3e与a,b的关系:,思考：当e0时，曲线是什么？当e1时曲 线又是 什么？,9,10,|x| a,|y| b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+c2,11,|x| a,|y| b,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,

4、0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a,短半轴长为b. ab,a2=b2+c2,|x| b,|y| a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0 , c)、(0, -c),同前,同前,同前,12,例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： 。 离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。,10,6,8,60,解题的关键：,2、确定焦点的位置和长轴的位置,题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质,1、将椭圆方程转化为标准方程明确a、b,13,已知椭圆方程为6x2+y2=6

5、,它的长轴长是： 。短轴长是： 。 焦距是： .离心率等于： 。 焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于： 。,2,练习1.,14,练习 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。 （1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1,15,练习：已知椭圆 的离心率 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 标、顶点坐标。,16,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点,解： 方法一： 设方程为mx2ny2

6、1（m0，n0，mn），,注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位； 定量,题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程,将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。,17,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点,解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质,注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位； 定量,题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，,于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，,故a3，b2，所以椭圆的标准方程为,18,例2求适

7、合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点,注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤： 定位； 定量,题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程,19,例2求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P(3,0)、Q(0,2)； 长轴长等于20，离心率3/5。 一焦点将长轴分成:的两部分,且经过点,题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程,20,练习：已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。,分类讨论的数学思想,21,练习： 1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。 长轴长

8、和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. 一焦点坐标为（3，0）一顶点坐标为（0，5） 两顶点坐标为（0，6），且经过点（5，4） 焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。,22,2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,23,24,例3：(1)椭圆 的左焦点 是两个顶点，如果到F1直线AB的 距 离为 ，则椭圆的离心率e= .,题型三：椭圆的离心率问题,25,例3：(2)设M为椭圆 上一点， 为椭圆的焦点， 如果 ，求椭圆的离心率。,题型三：椭圆的离心率问题,26,题型三：椭圆的离心率问题,27,练习：,D,28,小结：,本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学