2016高三周考理科数学试题

1、2016-2017 学年度襄阳三中学校学年度襄阳三中学校 12 月周考卷月周考卷 邓超群 秦正辉 一、选择题一、选择题 1等差数列中，是其前项和，则（ ） n a n Sn 97 1 9,2 97 SS a 10 S A0 B-9 C10 D-10 2已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右 2 2 :1 3 x Cy 12 ,F F 2 FC 支相交于两点，且点的横坐标为 2，则的周长为（ ）,P QP 1 PFQ A B C D4 3 14 3 3 5 3 16 3 3 3已知满足约束条件，目标函数，若的最大值为，, x y 1 1 49 3 x y xy xy zmxyz f

2、 m 则当时，的最大值和最小值之和是（ ）2,4m f m A4 B10 C13 D14 4已知点 P 为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左右)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 21,F F 焦点，且，I 为三角形的内心，若成立，则 a b FF 2 21 | 21F PF 121 2 IPFIPFIF F SSS 的值为 。 A B C D 2 221 13212 12 5过双曲线（，）的左焦点（） ，作圆 22 22 1 xy ab 0a 0b F,0c0c 的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则 2 22 4 a xyF2F 双曲线的离心率为（ ） A B C

3、D10 10 5 10 2 2 6已知数列为等比数列，且，则的 n a 2 2 20132015 0 4aax dx 2014201220142016 (2)aaaa 值为（ ）A B C D2 2 2 4 7已知函数，若存在实数，满足 2 |log|,02 ( ) sin(),210 4 xx f x xx 1 x 2 x 3 x 4 x ，且，则的取值范围是 1234 xxxx 1234 ()()()()f xf xf xf x 34 12 (2) (2)xx x x （ ） A B C D(4,16)(0,12)(9,21)(15,25) 8抛物线的焦点为，准线为 ，是抛物线上的两个动点

4、，且满足 2 2(0)ypx pFlAB ，设线段的中点在 上的投影为，则的最大值是（ ） 2 3 AFB ABMlN | | MN AB A B C D3 3 2 3 3 3 4 9已知抛物线与双曲线有相同的焦点 F，点 A 2 2(0)ypx p 22 22 1(0,0) xy ab ab 是两曲线的一个交点，且轴，若 为双曲线的一条渐近线，则 的倾斜角所在的区AFxll 间可能是（ ） A B C D(0,) 6 (,) 6 4 (,) 4 3 (,) 3 2 10已知实数满足, 则的最小值为（ , a b 2 25ln0,aabcR 22 acbc ） A. B. C. D. 1 2

5、2 2 3 2 2 9 2 11设满足约束条件，若的最小值为，则的值为（ yx, 0, 0 43 yx a yx 1 32 x yx z 2 3 a ） A.1 B.2 C.3 D.4 12设当时，函数取得最小值，则=（ ）xxxycos2sincos A. B. C. D. 5 5 5 5 5 52 5 52 二、填空题（二、填空题（20 分）分） 13已知，则_ 2 2 cos 63 cos 3 14已知函数，点为曲线在点处的切线 上 02 x f xfex P yf x 0,0fl 的一点，点在曲线上，则的最小值为_Q x yePQ 15如图，已知的边的垂直平分线交于点，交于点.若ABC

6、BCACPBCQ ，则的值为 .3,5ABAC APAQABAC 16如图，半径为 2 的扇形的圆心角为分别为半径的中点，为弧120 ,M N,OP OQA 上任意一点，则的取值范围是 PQAM AN 三、解答题三、解答题 17在中，角所对的边为，且满足ABCCBA、cba、 . 222 66 cos Acos Bcos( A)cos( A) （）求角的值；B （）若，求的取值范围.ab3ca2 18已知数列的前项和为，且满足 n an n S * ()nN21 nn aSn （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；2 n a n a （2）求和： 2 12231 1111 2223

7、n nn a aa aa a 19已知椭圆的左、右焦点分别为、， 22 22 :10 xy Cab ab 1 3,0F 2 3,0F 椭圆上的点满足，且的面积为P 0 12 90PFF 12 PFF 1 2 3 2 PF F S （1）求椭圆的方程；C （2）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线 与椭圆相交于、CAB1,0QlCM 两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上NAN4x RRBM 20 （本小题满分 14 分）已知椭圆的右焦点为，且点:C 22 22 1(0) xy ab ab (1,0)F 在椭圆上，为坐标原点 3 (1, ) 2 PCO （1）设过定点的直线 与椭圆交于

8、不同的两点、，且为锐角，求直(0,2)TlCABAOB 线 的斜率的取值范围；lk （2）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切 1: C 22 2 2 1 5 3 xy a b P:O 3 4 22 yx 线，切点分别为（不在坐标轴上） ，若直线在轴、轴上的截距分别为,M N,M NMNxy 、，证明：为定值mn 22 11 3mn 21已知函数. 1 ( )ln(1),f xxaaR x （1）若，试求最小值； （2）若都有恒成立，求的取值范1a ( )f x1x ( )0f x a 围. 22选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知曲线，将曲线上的点向左平移一个单位，然后纵坐

9、:2cosC pC 标不变，横坐标轴伸长到原来的 2 倍，得到曲线，又已知直线 1 C （ 是参数） ，且直线 与曲线交于两点. cos, 3 : 3sin 3 xt l yt tl 1 CAB， （I）求曲线的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； 1 C （II）设定点，求.(0, 3)P 11 |PAPB 23选修 4-5：不等式选讲 已知定义在上的函数的最大值为.R( ) |1|2|f xxxs （1）试求的值；s （2）若，且，求证：, ,a b cRabcs 222 3abc 答案答案 1A 【解析】试题分析：因是等差数列,且公差为,故 n Sn 1d ,故应选 A099) 110(

10、1 110 110 aS 考点：等差数列的性质及综合运用 2D【解析】试题分析：易知，所以轴， 2(2,0) FPQx 22 3 3, 33 ae ，又， 22 2 33 223 33 PFQFea 12 37 3 22 3 33 PFPFa 所以周长为 1 PFQ 7 3316 3 2() 333 考点：双曲线的定义 【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上点到焦点距离时，要考虑圆锥曲线 的定义本题涉及双曲线的上点到焦点的距离，定义的应用有两个方面，一个是应用第一 定义把曲线上点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，一个是应用第二定义把点 到焦点的距离与到准线的距离相互转化，特别可得结论：双曲线上

11、的点 22 22 1 xy ab 到左焦点距离为，到右焦点距离为 00 (,)P xy 0 dexa 左0 dexa 右 3D【解析】试题分析：画出不等式组表示的区域如图,结合图像可知当动直 1 1 49 3 x y xy xy 线过定点时,取最大值,因,故zmxy) 1 , 2(Pz12)( mmf2,4m ,所以,故应选 D9)(, 5)( minmax mfmf1495)()( minmax mfmf y=-mx+z y=-1 P(2,1) x+y-3=0 4x+y-9=0 x=1 y x 考点：不等式组表示区域及线性规划的知识与函数的最值等知识的综合运用 4D【解析】试题分析：设的内切

12、圆半径为，由双曲线的定义得 12 PFFVr ， 1212 |22PFPFaFFc， 12 12 | 11 22 | IPFIPF SPFrSPFr VV ， ，由题意得，故 1 2 1 2 2 IF F Sc rcr V12 11 22 |PFrPFrcr ， 12 22 2 PFPFaa cc ab 2 12 | b FF a Q， 222 2 bca c aa 故选：D。 2 2 10 aa cc 21 a c 考点：1双曲线的简单性质；2圆锥曲线的定义、性质与方程。 【思路点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，设 的内切圆半径为，由，用的边长和表示 12 P

13、FFVr 1212 |22PFPFaFFc， 12 PFFVr 出等式中的三角形的面积，解此等式求出。 5C【解析】试题分析： 2 2 24 aa OFc OEEFc， 由题可知，为的中点，2F E,F P 22 22 10 2222 442 | aa PFcPFaPFPFacae ， 故选 C 考点：双曲线的离心率 6C【解析】试题分析：本题考查等比数列，定积分等基础知识由定积分的几何意义可 得表示圆在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，所以 2 2 0 4x dx 22 4xy 2 22 20132015 0 1 42 4 aax dx ，所以 2014201220142016201420

14、122014201420142016 ()2aaaaaaaaaa 22 2013201320152015 2aaaa 故选 C 22 20132015 ()aa 考点：等比数列，定积分的几何意义 7B 【解析】 试题分析:在平面直角坐标系中，作出函数的图象如图所示：x y f x 因为存在实数，满足，且 1 x 2 x 3 x 4 x 1234 xxxx ，所以由图象知：， 1234 ()()()()f xf xf xf x 1 1 1 2 x 2 12x 3 24x ，当时，直线与函数的图象有个交点，直线越往 4 810 x01t yt f x4yt 上平移，的值越小，直线直线越往下平移，的

15、值越 34 12 22xx x x yt 34 12 22xx x x 大，因为当时，当时，0t 34 12 224282 12 1 1 xx x x 1t ，所以的取值范围是，故 34 12 2222 102 0 1 2 2 xx x x 34 12 22xx x x 0,12 选 B 考点：函数的图象 8C 【解析】 试题分析：如下图，分别设，横坐标为，则，ABab 2 | ba MN ，abbaabbaAB 2222 3 2 cos2 22 2 | | baba ba AB MN ， 3 3 21 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 12 2 1 222222 22 ab bab

16、aba ab baba abba 当且仅当时，等号成立，故的最大值是ba | | MN AB3 3 考点：1抛物线的性质；2余弦定理；3基本不等式求最值 9D 【解析】 试题分析：，又，故选 D 22 |,2 2 bpb AFp cc aa cb 2 tan2 bc ab 考点：抛物线与双曲线的几何性质 10C 【解析】 试题分析：由题意，得，代换，代换，则满足：，即xaybyx,0ln52 2 yxx ，)0(ln52 2 xxxy 以代换，可得点，满足，因此求的最小值即为求xc),(xx 0 yx 22 acbc 曲线上的点到直线的距离的最小值，设直线)0(ln52 2 xxxy0 yx

17、与曲线相切于点，则0myx)0(ln52 2 xxxy x xxfyxP 5 4)( ),( 00 ，解得，所以切点为,所以点到直线的距离1)( 0 xf1 0 x)2 , 1 (PP0 yx ，则的最小值为，综上所述，选 C. 2 23 d 22 acbc 2 23 考点：1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式. 【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推 理能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发现变成求 的最小值即为求曲线上的点到直线 22 acbc)0(ln52 2 xxxy 的距离的最小值，因此在曲线上找到

18、一个和平行的直线与之0 yx0 yx0 yx 间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目 将已知条件合理转换是解决问题的关键. 11A 【解析】 试题分析：因为，而表示可行域内 121231 12 111 xyxyy z xxx 1 1 y x 点与点连线的斜率，由选项可知，作出可行域，如下图，由图可知, x y1, 1 0a 的最小值为，即，所以，故选 A. 1 1 y x 1 4 min 01111 131314 y xaa 1a 考点：简单得线性规划. 【方法点睛】本题主要考查了简单得线性规划，属于中档题.本题解答的关键是通过分离常 数把分式型目标函数

19、化成，从而找到目标函数的几何意义 1 32 x yx z 1 12 1 y z x 可行域内点与点连线的斜率，结合图形找出最值点，在高考中对分式, x y1, 1 结构的处理方式一般是分离变形，找出其意义. 12C 【解析】 试题分析：，其中 52 5 sin2cos5sincos5sin 55 f xxxxxx ，因为当时，函数取得最大值，所以 2 55 sin,cos 55 xxxycos2sin ，即，又，联立方程组可得sin1sin2cos5 22 sincos1 ，故选 C. 2 5 cos 5 考点：两角和与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式. 【方法点睛】本题主要考查了两角和

20、与差的正弦函数及同角三角函数的基本关系式，属于 中档题.解答本题的关键是根据辅助角公式把函数化成正弦型函数 f x 的形式，根据题意得到关系式，再结合同角三角函sinyAxsin2cos5 数的基本关系式，解方程组求得的值. 22 sincos1cos 13 1 3 【解析】 试题分析: ,故应填答案cos 3 3 1 ) 6 (cos1) 6 sin( 2 1 3 考点：诱导公式及同角关系的综合运用 142 【解析】 试题分析:因,令可得,即,2)0()( / x efxf0 x2)0()0( 0/ eff1)0( / f 所以,所以切线的斜率,又,故切线方程为xexf x 2)(1)0(

21、/ fk1)0(f ,即由题意可知与直线平行且曲线相切的01xy01 yx01 yx x ye 切点到直线的距离即为所求设切点为,则,故,也即01 yx),( t etP1 t ek0t ,该点到直线的距离为,故应填答案) 1 , 0(P01 yx2 2 2 d2 考点：导数的几何意义及数形结合思想的综合运用 【易错点晴】本题设置了一道以两函数的解析式为背景,其的目的意在考查方程思想与数形 结合的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力解答本题时要充分运用题设中提 供的图象信息,先运用赋值法求出,进而求出,然后将问题等价1)0( / fxexf x 2)( 转化为与直线平行且曲线相切的切点到

22、直线的距离即为01 yx x x y e 01 yx 所求答时先设切点为,则,故,也即,该点到直线),( t etP1 t ek0t) 1 , 0(P 的距离为,从而获得答案01 yx2 2 2 d 15-16 【解析】 试题分析： 22APAQABACPQAQABACAQABACABACABAC 22 92516.ABAC uu u ruuu r 考点：向量数量积 16 3 5 , 2 2 【解析】 试题分析：建立如图所示直角坐标系，则，(2cos ,2sin )(0120 )A ， 13 (,),(1,0) 22 MN ，所以 13 (2cos ,2sin ) 22 AM (12cos ,

23、 2sin )AN ， 137 (2cos )(12cos )(2sin )( 2sin )2sin(30 ) 222 AM AN 因为，所以，0120 1 3030150 ,sin(30 )1 2 35 22 AM AN 8 6 4 2 2 4 6 8 1510551015 M P Q ON A 考点：1向量的坐标表示；2向量的坐标运算； 3三角函数性质 17 （I）；（II）. 2 33 B 或 3,2 3) 【解析】 试题分析：（I）根据条件和两角和与差的正、余弦公式可得 ，整理可得，求得角的值； 2222 31 2sin2sin2cossin 44 BAAA 3 sin 2 B B （

24、II）由正弦定理把用角表示，通过三角恒等变换化成正弦型函数, a c,A C ，结合角的范围，求得的取值范围. 2 3sin 6 g AA Aca2 试题解析：（I）由已知 cos2cos22coscos 66 ABAA 得 ， 化简得 2222 31 2sin2sin2cossin 44 BAAA 3 sin 2 B 故 2 33 B 或 （II）因为，所以，ba 3 B 由正弦定理， 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB 得 a=2sinA,c=2sinC， 2 24sin2sinC4sin2sin 3 ac AAA 3sin3cos2 3sin 6 AA A 因为，所以，ba

25、 2 , 33662 AA 所以 )32 , 32ca 考点：正弦定理解三角形和三角函数的值域. 18 （1）证明见解析，；（2）证明见解析 1 2 2 n n a 【解析】 试题分析：（1）由，先令，得出的值，由，21 nn aSn1n 1 a21 nn aSn 两式相减，整理得，于是数列是首 11 2(1) 1 nn aSn 1 1 2(2) 2 nn aa 2 n a 项为，公比为的等比数列，可得；（2）由于 1 1 2 2 a 1 2 1 2 2 n n a ，所以可用“裂项求和”的方法求得前项和为 12 1 111 22121 nnn nn a a n ，即证原式 2 111 321

26、3 n 试题解析：（1），令，得， 21 nn aSn1n 1 23a 1 3 2 a ，21 nn aSn 11 2(1) 1 nn aSn * (2,)nnN 两式相减，得，整理 1 22 nn aa 1 1 1 2 nn aa ， 1 1 2(2) 2 nn aa (2)n 数列是首项为，公比为的等比数列 2 n a 1 1 2 2 a 1 2 ， 1 2( ) 2 n n a 1 2 2 n n a （2） 1 121212 1 1 11211 21 212(21)(21)2121 2 22 n nnnnnnn n nn nn a a 2 12231 111 222n nn a aa

27、aa a 233412 111111 ()()() 212121212121 nn 2 111 3213 n 考点：1、等比数列的通项；2、利用“裂项求和法”求数列前项和；3、不等式的证明n 19 （1）；（2）证明见解析 2 2 1 4 x y 【解析】 试题分析：（1）由已知，可求，故方程为；（2）当直线 不3c2a 2 2 1 4 x yl 与轴垂直时，设直线 的方程为、，由xl1 ,yk xM x y 220 ,4,N xyRy 得，由共线，得，又 2 2 1 1 4 yk x x y 2222 148440kxk xk,RA N 2 0 2 6 2 y y x ，则 011 2,2,

28、BRyBMxy ，代入可得结论 12211212 12312258xxxxx xxx 试题解析：（1）由题意知：， 12 22 3FFc 椭圆上的点满足，且，P 0 12 90PFF 1 2 3 2 PF F S ， 1 2 1211 113 2 3 222 PF F SFFPFPF A 22 12121 17 , 22 PFPFFFPF 12 24,2aPFPFa 又，3c 22 1bac 椭圆的方程为，C 2 2 1 4 x y （2）由题意知，2,02,0AB、 当直线 与轴垂直时，则的方程是：lx 33 1,1, 22 MN 、AN ， 3 2 6 yx 的方程是：，直线与直线的交点为

29、，BM 3 2 2 yx AN4x 4,3R 点在直线上RBM （2）当直线 不与轴垂直时，设直线 的方程为、lxl1 ,yk xM x y ， 220 ,4,N xyRy 由得， 2 2 1 1 4 yk x x y 2222 148440kxk xk 2 22 1212 2 844 , 14 14 kk xxx x k k ，共线， 022 6,2,ARyANxy ,RA N 2 0 2 6 2 y y x 又，需证明共线， 011 2,2,BRyBMxy ,RB M 需证明，只需证明， 101 220yyx 2 11 2 61 2120 2 k x k xx x 若，显然成立，若，即证明

30、0k 0k 12211212 12312258xxxxx xxx 成立 2 2 22 2 44 5 8 80 1414 k k kk 共线，即点总在直线上,RB MRBM 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线 的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关 系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重 点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意直线斜率 不存在的情况及不要忽视判别式的作用 20 （）; （）或;（）详见解析 22

31、 1 43 xy 2 31 32 k 12 3 23 k 【解析】 试题分析：（）由题意得： 所以，又因为点在椭圆上，所以1c 22 1ab 3 (1, ) 2 PC ，可解得，即可求出椭圆标准方程；（）设直线 方程为 22 19 1 4ab 22 4,3abl ，设、2ykx 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 由得：，因为，所以，又 22 1 43 2 xy ykx 22 (43)1640kxkx 2 1230k 2 1 4 k ，因为为锐角，所以， 即 12 2 16 43 k xx k 12 2 4 43 x x k AOB0OA OB ，即可得到，所以即可求出结果；（）由

32、题意： 1212 0 x xy y 2 2 1216 0 43 k k 2 4 3 k 可得，直线的方程为 2 2 1 PM OM x k ky PM 22 4 3 x xy y 同理可得直线的方程为，把点的坐标代入、得PN 33 4 3 x xy yP 2121 3 131 4 3 4 3 x xy y x xy y 所以直线的方程为， 令，得，令得，MN 11 4 3 x xy y0y 1 4 3 m x 0 x 1 4 3 n y 所以，又点在椭圆上，所以， 即可证明结果 1 4 3 x m 1 4 3 y n P 1 C 22 44 ()3()4 33mn 试题解析：解：（）由题意得：

33、 所以 2 分1c 22 1ab 又因为点在椭圆上，所以，可解得 3 (1, ) 2 PC 22 19 1 4ab 22 4,3ab 所以椭圆标准方程为 4 分 22 1 43 xy （）设直线 方程为，设、l2ykx 11 ( ,)A x y 22 (,)B xy 由得：， 22 1 43 2 xy ykx 22 (43)1640kxkx 因为，所以， 6 分 2 1230k 2 1 4 k 又， 12 2 16 43 k xx k 12 2 4 43 x x k 因为为锐角，所以， 即，AOB0OA OB 1212 0 x xy y 所以， 1212 (2)(2)0 x xkxkx 所以

34、8 分 2 1212 (1)2 ()40kx xk xx 所以 2 22 416 (1)240 4343 k kk kk 即，所以所以， 2 2 1216 0 43 k k 2 4 3 k 2 14 43 k 解得或 9 分 2 31 32 k 12 3 23 k （）由题意：设点，, 1: C 22 3 1 44 xy 11 ( ,)P x y 22 (,)M xy 33 (,)N xy 因为不在坐标轴上，所以,M N 2 2 1 PM OM x k ky 直线的方程为PM 2 22 2 () x yyxx y 化简得： 11 分 22 4 3 x xy y 同理可得直线的方程为 PN 33

35、 4 3 x xy y 把点的坐标代入、得P 2121 3 131 4 3 4 3 x xy y x xy y 所以直线的方程为， 12 分MN 11 4 3 x xy y 令，得，令得，0y 1 4 3 m x 0 x 1 4 3 n y 所以，又点在椭圆上， 1 4 3 x m 1 4 3 y n P 1 C 所以， 即为定值 14 分 22 44 ()3()4 33mn 22 113 34mn 考点：1椭圆的性质；2直线与椭圆的位置关系 21 （1）；（2）.0 1,)a 【解析】 试题分析：（1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；（2）对于恒成立的问题，分 离参数，构造函数，求出函数的最值即可. 试题解析：（1）当时，1a 1 ( )ln1f xx x ，在单调递减，在单调递增. 22 111 ( ) x fx xxx ( )f x(0,1)(1,) 当时，.1x min ( )(1)0f xf （2）在时恒成立， 1 ( )ln(1)0f xxa x 1x . 1 ln(1)ln x axa xxx x AA 当时，恒成立，.1x 0a aR 当时，.1x ln 1 xx a x 令， ln ( )(1) 1 xx g xx x ( ln )ln1xxx . 22 (ln1)(1)lnln1 ( ) (1)(1) xxxxxx g x xx 令，( )ln1h xx