作用于流体的力应力张量.ppt

1、1,气象学与气候学,流体力学,大气科学学院,刘海文,2,2 作用于流体的力、应力张量,研究流点所受的力和性质 在流体中任取一个以s 为界面的体积,，作用于该体积上的力,分成两类：,质量力（体力） 和 面力（表面力） 下面逐一分析之：,一、质量力（体力） 1、定义：质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流 点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。 在大气动力学中指重力。是非接触力。 2、表示方法,质量力用空间中分布密度函数,表示。,3,（2.19）-可以看成是力的分布密度。,如果质量力是重力，则,就是重力加速度g。,3、作用于有限体积元,上的质量力是：,二、面力（表面力） 1、定义：

2、面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体） 作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。 2、表达式 以面力在表面上的分布密度来表示（记作 ),（2.20）,上式中的,是作用于某个流体面积,上的表面力，面力,又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：,4,3、质量力和面力的区别( ),（1）质量力,是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的,函数，即：,，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数,完全描述了。,（2）面力,是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还,随着受力面元取向的不同而变化，即：,是空间某一点的位置,是该点某一个受力面元的法向单位矢。,这段话可以这样理

3、解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。,5,问题,那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-是否一定要这样做？ -不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。 即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量 完全地描述了一点的应力状况。,6,三、应力张量 1

4、、一些符号和名词,（1）小面元,的法线方向：,当,封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1,当,不封闭时，可以规定一个方向为正。,(2)外法向（即周围）流体通过面元对面元 内流体的应力作用记为：,（或说法线正向一侧流体作用于面元上的 应力以 表示）,面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：,（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以,表示.）,根据牛顿的作用力与反作用力定律：,7,注意：,一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的,n只是表示面元的法向。,（3）应力矢,在直角坐标轴上的投影。记为：,注意：第一个下标表示面元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。,（4）,一般而言不

5、平行于法线（不垂直于作用面），因而它在,面元的法向和切向都有投影，即：,法线方向上的投影：,-法向应力,切线方向上的投影：,-切向应力,8,2、应力张量的证明 设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体 MABC，如图2-3。,注意：,不一定垂直于YOZ, XOZ, XOY平面。,9,2.21中含 的略去,根据牛顿第二运动定律，有：,（2.18）,而流体所受的力,，就是上面表中所列的内容，则可以写出这,这个四面体的运动方程：,（体力 +面力）,上式中的,是三阶小量，,是二阶小量， 含,的项比含,的项小一个量级。当四面体无限缩小时，,含,的项可以略去，,则得到：,（2.21）,又因为

6、：,10,上式又可以写成：,移项为：,（2.24）,上式中的三个小面积,是,在三个坐标面上的投影，即：,（2.25）,上式中的,表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。,另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到：,将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，,（2.26）,11,所以, 应力矢,在直角坐标轴上的投影,就为：,（分别是i, j, k 方向）,（2.27）,12,（2.27）,（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量： ， ， 已知，,则任一法向为,的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。,因此三个矢量 ， ，,，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。,称下

7、面由9个分量组成的张量为应力张量：,=,， k=1,2,3, l=1,2,3 (2.28),13,根据张量运算的原则，就有：,而,=,应力张量的9个分量中，,称为法应力（是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。 其余6个量称为切应力（分量）。,14,3、应力张量的性质 （1）应力张量是一个对称张量，已经证明：,（2）不论坐标如何选择，,为一不变的量。,15,4、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：,此时只有法向应力（实际就是压力）,则根据（2.27）得到：,（2-1）,如果按法向和切向的分解，,，则：,（2-2）,对于理想流体，没有切应力，即,，上式（2-2）就成

8、为：,16,（2-3）,将（2.1）与（2.3）对比，得到：,可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数， 一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）,理想流体的应力矢可以写成：,所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。,， （矩阵称为单位张量）,17,5、静止流体 因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体 一样了，上述对理想流体的性质依然成立。,四、表面应力张量与形变速度张量的关系,真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时 （即剪切变形）时，在相反方向产生一切向应力， 阻止变形的产生，因此切向应力与切向形变之间存在关系。,流

9、体的这种性质粘性规律，通过它将应力张量与形变速度 张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。,18,1、牛顿实验： 1687年，建立了此关系 实验（如书上P53图2.5）,实验： 开始-两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。 上板以速度U 平行于下板移动，下板静止。 此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。 过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-速度分布如下：,-显然：,这是一种切变分布。,19,如果想保持两板之间流体的这种速度分布，则必须给上板一个 与流速同向的推力（切向力），而给下板以一个与流速反向的固 定力,这说明流体与板，流体与流体之间存在着黏性应力，否则上

10、板 就不可能带动整个流体运动。,而且，对上下板所施的力，就是用来克服流体对板的黏性力。,实验测量证明：此流动中的粘性应力矢处处相同的，用,表示,20,牛顿粘性定律,（2.35）,称为（动力学）粘性系数或内摩擦系数。,（流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数， 一般内、外摩擦系数取值一样.）,牛顿粘性定律给出了粘性应力,与形变率,的关系，即粘性应力与形变率成正比，与压力无关,牛顿粘性定律但只适用于直线运动。,21,2、广义牛顿粘性假设,牛顿粘性定律给出了粘性应力,与形变率,的线性关系，但只适用于直线运动。,但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动， 称为广义牛顿粘性假设，即：,（2.36）

11、,式中的,就是前面讲到的应力张量（2.28），,是第一章讲到的形变率（P21，1.38式）,是三个法向应力的平均值。,是前面讲的单位张量。,22,3.应力张量和形变速度张量（形变率张量）之间的关系,广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量 之间的关系，写成分量形式：,其中：,。,其中,由于单位张量中的非对角元素为零，则（2-3）还可以写成：,（2-3）,23,可见前面的牛顿粘性定律是（2-3）的一个特例。,（2-3）还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关 的部分，即：,24,（流体单位面积受到的总的表面力）= （与粘性无关的部分，即流体的压力）+ （与粘性有关的部分，即流体的粘性应力）,上式右边的第二部分可以定义为：,称为粘性应力张量。,25,