折纸的数学之美

1、现代折纸的数学之美,主讲人：李轩,折纸最早起源于中国，却由日本发扬光大,神谷哲史,1981出生于日本，虽然年纪小，但神谷哲史已经是世界上最杰出的折纸艺术家之一。他两岁时就开始了折纸生涯，并在14岁时开始设计比较复杂的折纸模型。 17岁时，他被邀请到日本电视节目折纸王冠军大赛，在那里他赢得了与比他年龄大一倍的折纸者的比赛，并在随后三年里一直都是冠军。 他创作了数以百计的折纸作品，他的创作灵感来自于大自然，东方和西方的神话，漫画，甚至是视频游戏中的人物。,古代龙CP图,龙神CP图,凤凰CP图,越南裔美国人，现居美国弗吉尼亚州，在一家建筑公司里工作。他是在1998年开始折纸的，现在因他的简单，优雅的

2、并具有禅宗般的灵性的折纸作品为人们所熟知。他倾向于铅笔线般的柔折而不是具有清晰，明显的折痕的作品。他通常在一张洁净的白纸上创作，从而可以使观众专注于这种纯粹艺术形式。他的许多作品都运用了湿折法从而具有抽象雕塑的外观。,法国雕塑家，被公认为世界上最有才华的折纸艺术家之一。经过独自摸索折纸的原则和技巧，他结合蛇腹设计、湿折法，以及他的雕塑工具，来创作人物模型和动物模型。他的作品超脱于单纯的折纸，更像是雕刻或塑像。,1974年出生于法国，拥有心理治疗师，机械工程及分子生物学的专业背景，他像孩童一般对待折纸，他设计了许多卡通造型的动物作品。出版了很多本作品专辑，同时他也致力于推广品其他国际知名折纸家的

3、作品。,尼古拉斯特里,陈晓,“叹为观纸”纸艺工作室创始人之一陈晓。从高中开始偶然接触折纸到现在，陈晓与折纸的爱恋已经历时了六七年。同学都喊他“大师”，论坛网友都叫他“折纸帝”。从大学开始，他就靠折纸养活自己。他们团队的作品，也曾上过快乐大本营，为邓超制作纸盔甲、为杜汶泽制作纸船。,2013年7月份他的作品嫦娥和洛神代表中国在日本参加国际折纸展，并被收藏在美浓御茶水和纸会馆。,现代折纸之所以能发展到如此复杂的地步，正是源于对折痕展开图的理论研究，下面让我们进入进入折纸背后的数学世界。,单顶点可折叠性问题,定理(Kawasaki 1989b,Justin 1989a,Hull 1994) 一个由1

4、 + 2 + n = 360定义的单顶点折痕图是可折叠的当且仅当n是偶数并且1 + 3 + 5 +2k-1 = 2 + 4 + 6 + + n .,定理（Maekawa(Kasahara and Takehama 1987), Justin 1994） 如果一个单顶点折痕图是可折叠的，那么它的峰折与谷折的数量之差为2.,定理（Kawasaki 1989b, Justin 1994） 如果某个i 是极小值，那么定义这个角的两条折痕的方向一定是反向的，即会形成一个褶皱（Crimp）。,Circle packing,Circle packing,随着我们不断细分，折痕围住的面积是在不断递减的（因为垂

5、直关系保证每段折线都是圆的切线）,极限是一个圆,如果有两个分支从一点发出（共用一个轴），那么两个圆一定是相切的（因为切点总是在某段折线的中点处） 于是我们归纳出以下事实： 分支细分极限的展开图是圆的一部分； 相连的分支对应的圆相切但不能重叠。,从最简单的例子说起： 任意三角形总可以折出来三个分支；并且当两个三角形满足一定条件时，它们就能接在一起；圆心过切点。,如果任意两个有一边相等三角形接在一起会发生什么呢？,河,受到三角形的启发，我们就可以用圆来分配纸张，然后将相切的圆的圆心连起来，这些就把纸分成若干个多边形。最终我们只要解决每个多边形的折痕填充问题，再接起来。,我们可以将整体问题转化为局部

6、问题，根据先前的拼接，当每个多边形的能折叠了，整体也就可以折叠了。 就此只需解决多边形的填充问题。 三角形是最简单的，但一般多边形是否可解？答案是肯定的，这需要了解Tree Method,TREE METHOD,当我们把某个Base的分支不断弄细，直到无穷细，宽度趋于0，我们就会得到像树一样的图形，它就称为树。 右图是让分支变细的常用方法，称为沉折。,下面来对单轴Base下一个定义： 一个Base被称为单轴的，如果它的的所有面都属于某个flap,并且满足下面的条件： （1）所有的base都在z0半空间中 （2）在xy平面上的投影恰好就是base与平面的交线 （3）每个flap投影成一条线段（这

7、就说明每个面与平面垂直） （4）hinge crease投影到一点 （5）投影是树形 （6）每个叶（顶点）只对应于纸上的一点（即分支的顶点）,定理(Lang 1996) 给定一个凸多边形纸P与一个有相对距离的树图T，如果忽略纸的自交，总可以将凸多边形纸折成单轴Base，其对应的树为T，并且达到最大可能。 猜想：用这种方法不会发生纸层自交。,纸上的每一点都对应于树的一点，记该映射为：PT。该映射是满射，但不是单射（因为每一个面都被映射成线段） 引理（Lang 1996） a,bP,d(a,b)，d(a,b) d(a), (b) 取等号时，a,b的连线（在纸上）称为激活路径。,根据这个引理，我们就

8、可以在纸上找可能的原像了。出于方便，我们要尽可能多的产生激活路径。,再次回到了多边形填充问题。,图中有两类图形：一类所有的边都是激活路径；另一类是有一边是纸的边界，而且不是激活路径。 我们都有办法来填充这些图形。,Universal molecule,One Complete straight cut,我们知道，分支实际需要的纸恰好就是hinge crease包围的图形，用tree method计算出的分支位置很难找，而且hinge polygon很不规则。 那么为了让其规则，我们能否直接对hinge crease进行限制？ 这就涉及到接下来要讲的一刀切问题。,平面上的任何平面多边形都可以通过折叠使边界共线，通过一次裁剪得到。,Straight skeleton,有了这样的结论，我们就可以不要求代表分支最小面积的圆相切了！ 通过牺牲