三角形“四心”的向量表示

1、三角形“四心”的向量表示,湖南省示范性（重点）中学 洞口一中曾维勇,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。,证明外心定理,证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ABC外接圆的圆心 因而称为外心,O,O,点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。,O是,的外心,B,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。,D,E,F,证明:

2、AD、BE、CF为ABC三条高， 过点A、B、C分别作对边的平行线 相交成ABC，AD为BC 的中垂线；同理BE、CF也分别为 AC、AB的中垂线， 由外心定理，它们交于一点， 命题得证,证明垂心定理,A,B,C,例1如图，AD、BE、CF是ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。,又点D在AH的延长线上，AD、BE、CF相交于一点,证：设BE、CF交于一点H，,证：设,化简：,同理：,从而,是ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心.,例3 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足,则P的轨迹一定通过ABC的 _,在ABC的边BC的高AD上.,P的

3、轨迹一定通过ABC的垂心.,所以，,时，,解:,解:,例4.（2005全国）点O是ABC所在平面上一点， 若 ， 则点O是ABC的（ ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点,则O在CA边的高线上,同理可得O在CB边的高线上.,D,5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一点，若 则P是ABC的（ ） A外心B内心C重心D垂心,D,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。,证明重心定理,E,F,D,G,是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心.,例1 P是ABC所在平面内任一点.

4、G是ABC的重心,思考： 若O为ABC外心，G是ABC的重心，则,O为ABC的内心、垂心呢？,例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF ,例2证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍,另证:,想想看？,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。,证明内心定理,证明 : 设A、C的平分线相交于I, 过I作IDBC，IEAC， IFAB，则有IE=IF=ID 因此I也在C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点

5、,I,I,E,F,D,1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的 充要条件是,2003天津理科高考题,B,是BAC的角平分线上的任意向量，过内心；,3.（2006陕西）已知非零向量 与 满足 则ABC为（ ） A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形,解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D.,D,解法二：由于 所在直线穿过ABC的内心，则由 (等腰三角形的三线合一定理)；又 ， 所以 ,即ABC为等边三角形，故答案选D.,注: 等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、 重心、内心、中心 ” 五心合一！,法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法, 是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系，如 所在直线一定通过ABC的内心; 所在 直线过BC边的中点，从而一定通过ABC的重心； 所在直线一定通过ABC的垂心等.,【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.,4. 在ABC中: (1)若CAa，CBb，求证ABC的面积 (2)若CA(a1，a2 )，CB(b1，b2 )， 求证：ABC的面积,解