4-5曲面及其方程.ppt

1、曲面及其方程,1,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,一、曲面方程的概念,2,以下给出几例常见的曲面,解,根据题意有,所求方程为,3,解,根据题意有,所求方程为,4,根据题意有,化简得所求方程,解,5,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知曲面的方程，研究曲面形状,(讨论建立旋转曲面、柱面的曲面方程),(讨论二次曲面的图形),（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,6,播放,二、柱面,观察柱面的形成过程:,这条定曲线C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线.,定义,平行于定方向并沿定曲线C移动的直线L 所形

2、成的曲面称为柱面.,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,二、柱面,36,定义,平行于定方向并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.,观察柱面的形成过程:,这条定曲线C 叫做柱面的准线，动直线 L 叫做柱面的母线.,注:柱面由一族具有定方向的平行直线所生成.,每一条母线都相交的曲线作为都可准线.,一般柱面方程的建立,设柱面的准线为,母线的方向为,求柱面方程.,存在准线C上一点,使得,存在,使得,消去,即得柱面方程,M在某一母线 上,例 在直角坐标系下,母线方向垂直于,柱面的准线为,准线所在平面，,求柱面方程.,解,准线C为,与 的交线,曲面,平面,准线

3、所在的平面为,母线的方向为,为所求柱面方程,定理,若一个柱面母线平行于z轴,则它的方程,反之,如果不含z,则它一定表示一个,母线平行于z轴的柱面.,中不含z；,一个三元方程中,注:在仿射坐标系中也成立.,设是一个母线平行于z轴的柱面,与xoy平面的交线为C,则C的方程为,母线的方向为,故的方程为,方程中不含z.,证,方程,在空间直角坐标系中,以C为准线,作母线平行于z轴的柱面.,它一般表示一条曲线C.,空间中任一点,满足曲线C的方程,柱面的方程为,在xy平面上,在 平面直角坐标系中的坐标为,在 平面上的投影为,三元方程中,如果不含z:,则它一定表示一个,母线平行于z轴的柱面.,反之,任何一个母

4、线平行于z 轴的柱面,它的方程中,一定不含z.,方程,它表示以C准线,母线平行于z轴的柱面,它一般表示一条曲线C.,在空间直角坐标系中,例如方程,表示一条抛物线.,在空间直角坐标系中,抛物线为准线,母线平行于z轴的柱面.,称为抛物柱面.,在 平面上,在 平面直角坐标系中,表示以这条,表示一条双曲线.,称为双曲柱面.,方程,在空间直角坐标系中,表示以这条双曲线为准线,母线平行于z轴的柱面.,在 平面直角坐标系中,表示一条椭圆.,称为椭圆柱面.,方程,在空间直角坐标系中,表示以这条椭圆为准线,母线平行于z轴的柱面.,在 平面直角坐标系中,在空间直角坐标系中,表示一条直线.,表示过这条直线,且平行于

5、,过,再如,在 平面直角坐标系中,z轴的平面.,同理,方程,在xz平面坐标系上,在空间直角坐标系中,一般,表示以这条曲线为准线,母线平行于y 轴的柱面.,例如,在xz平面直角坐标系中,表示一椭圆.,在空间直角坐标系中,表示以这条椭圆为准线,母线平行于y 轴的椭圆柱面.,表示一条曲线C.,方程,在yz平面坐标系上,在空间直角坐标系中,一般表示,表示以这条曲线C为准线,母线平行于x 轴的柱面.,例如,在yz平面直角坐标系中,表示一个圆.,在空间直角坐标系中,表示以这圆为准线,母线,一条曲线C.,平行于x 轴的圆柱面.,例,解,40,给定空间一点M0,和一条不过M0的曲线C,所有过点M0,且与曲线C

6、相交的直线,构成的曲面,称为锥面.,定点M0称为锥面的顶点,定曲线C称为锥面的准线.,锥面上不过顶点,且与每一条母线都相交的曲线都可作为锥面的准线.,动直线 称为锥面的母线.,定义,注:锥面由一族共点的直线所生成.,三、锥面,准线为,求锥面的方程,设锥面的顶点为,M在某一母线 上,存在准线C上一点,即得锥面方程,例 求顶点为,准线为,的锥面方程.,解,为所求锥面方程,定义,空间内,一条曲线C,绕定直线 旋转,所产生的曲面,称为旋转曲面.,曲线C,定直线,母线上任意一点旋转一周后,形成一个圆,称为纬圆(或纬线).,过轴 的半平面,与旋转曲面的交线,称为经线.,经线为平面曲线,可以作为母线;,但母

7、线C可以,是空间曲线.,称为旋转曲面的母线.,称为旋转曲面的轴.,四、旋转曲面,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,定义,播放,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面.,四、旋转曲面,定义,19,绕轴旋转一周产生,经线,即经线总可以作为最初的母线,来产生旋转曲面.,特别地,经线为平面曲线,可取经线所在的平面,为坐标平面,旋转轴L为坐标轴.,此时,具有特殊的形式.,旋转曲面的方程,旋转曲面也可由其,取旋转轴为z轴,为yoz平面,旋转曲面S,使得,且,为S的方

8、程,取经线所在的平面,绕z轴旋转一周,例如,绕z轴旋转一周,所成旋转曲面的方程为,即,得曲面S.,又如,此抛物线绕z轴旋转一周,所成旋转曲面的方程为,即,称为旋转抛物面.,同理,yoz平面上的曲线,绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S,S的方程为,xoy平面上的曲线,绕y轴旋转一周,所成旋转曲面S,S的方程为,xoz平面上的曲线,绕x轴旋转一周,所成旋转曲面S,S的方程为,坐标平面内的曲线C,规律如下:,绕此坐标平面内的,坐标轴旋转时,得到旋转曲面S,为求S的方程,只要将C,在此坐标平面内的方程,保留与旋转轴,而以其它两个坐标,的平方和的平方根,代替方程中的另一个坐标,即可.,一条,同名的坐标,例

9、将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双曲面,解,22,旋转椭球面,旋转抛物面,解,解,23,二次曲面,1,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面.,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,2,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标平面对称.,3,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆.,当k由0变到c时,椭圆由大变小

10、, 最后缩成一点。,4,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,5,球面,截面上圆的方程,方程可写为,旋转椭球面与椭球面的区别：,与平面 的交线为圆.,6,（二）双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,7,与平面 的交线为椭圆.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,8,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,9,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截均可得双曲线.,平面 的截痕是两对相交直线.,10,单叶双曲面图形,11,双叶双曲面,12,（三）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。,13,当 k 变动时，这种椭圆的中心都在 z轴上.,与平面 的交线为椭圆.,与平面 z=k (k0) 不相交.,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,（ 与 同号）,14,与平面 y=k的交线为抛物线.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,（ 与 同号）,15,（3）用坐标面 ，x=k 与曲面相截