§7.2 一元二次不等式及其解法.ppt

1、,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,一元二次不等式及其解法,XX第一中学 YYY,高三数学第一轮复习,一元二次不等式及其解法,不等关系及不等式,二元一次不等式(组)与平面区域,简单的线性规划问题,不等式的基本性质,一元二次不等式及其解法,绝对值不等式,基本不等式,不等式的实际应用,两个实数大小的比较,最大(小) 值问题,绝对值的解法,忆 一 忆 知 识 要 点,1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 下表,=b2-4ac,二次函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象,一元二次方程ax2 +bx+c=0的根,ax2+bx+c0 (a0)的解集,ax2+bx+c0)

2、 的解集,0,=0,0,有两不等实根x1, x2,x|xx2,x|x1 x x2,有两相等 实根x1=x2,无实根,x|xx1,R,2. 用程序框图描述一元二次不等式ax2bxc0 (a0)的求解的 算法过程,忆 一 忆 知 识 要 点,一元二次不等式的解法,【例1】已知不等式ax23x64的解集为x|xb, (1)求a，b的值； (2)解不等式ax2(acb)xbc0.,(2)不等式ax2(acb)xbc2时，不等式(x2)(xc)2时,原不等式的解集为x|2xc； 当c2时,原不等式的解集为x|cx2；,当c2时,原不等式的解集为.,(1)解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，

3、再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集 (2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类,二次函数与二次不等式,【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1, 3) (1)若方程f(x)6a0有两个相等的根,求f(x)的解析式;,二次函数与二次不等式,(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.,二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系. (1)一元二次不等式解集的端点就

4、是对应的一元二次方程的解.(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系.(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.,一元二次不等式的实际应用,【例3】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x

5、应在什么范围内？,一元二次不等式的实际应用,不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键,09,与一元二次不等式有关的恒成立问题,(12分)设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x, f(x)0恒成立, 求m的取值范围； (2)若对于x1, 3, f(x)m5恒成立, 求m的取值范围.,方法一,09,与一元二次不等式有关的恒成立问题,(12分)设函数f(x)mx2mx1. (1)若对于一切实数x, f(x)0恒成立, 求m的取值范围； (2)若对于x1, 3, f(x)m5恒成立

6、, 求m的取值范围.,对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解: 第一步:整理不等式(或分离参数); 第二步:构造函数g(x); 第三步:求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值; 第四步:根据最值构造不等式求参数; 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点,完善解题步骤.,1.与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值 2解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数 3对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数

7、的图象在给定的区间上全部在x轴下方 4本题考生易错点：忽略对m0的讨论这是由思维定势所造成的,1解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决 2对于不等式ax2bxc0 (0)或ax2bxc0 (0) (a0)的求解，善于联想： (1)二次函数yax2bxc与x轴的交点； (2)方程ax2bxc0 (a0)的根，运用好“三个二次”间的关系,1一元二次不等式的界定对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别如：解不等式(xa)(ax1)0，如果a0它实际上是一个一元一次不等式；只有当a0时它才是一个一元二次不等式 2当判别式0 (a

8、0)解集为R；ax2bxc0)解集为.二者不要混为一谈 3注意利用数形结合的思想 利用二次函数yax2bxc的图象可以一目了然地写出一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0的解集 4含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论.,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,三、解答题,1.分式不等式与一元二次不等式的关系:,2. 不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题, ax2+bx+c0在R上恒成立

9、 , f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立, f(x)min0(xm, n), ax2+bx+c0在R上恒成立 ,f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立,3. 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在m, n上的最值,(2)若 m, n, 则,当 x0m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n);,当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).,(1)若 m, n, 则,f(x)min= f(x0)=,4. 二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 实根分布问题,记 f(x)=ax2+bx+c(a0),方程

10、f(x)=0 有两正根 ,方程 f(x)=0 有两负根 ,方程 f(x)=0 有一正根一负根 ,R,开始,将原不等式化成一般形式,结束,是,否,是,否,例1.已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集.,解: 由已知得 的两个根，且a0，,解得,不等式 即为,即不等式 ax2-bx+c0的解集为,【1】若不等式x2+ax+40的解集是空集 , 则 a 的取值 范围是_.,【2】不等式 的解集是_.,解: 不等式等价于,2x+3=0, 或,x|x2, 或 x =-1.5 ,练一练,例2.,解：,数，,例2.,【1】如果不等式 对一切实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围是_.,对一切实数 x

11、恒成立，,练一练,【2】如果a0, 函数 的定义域为R, 则实数 a 的取值范围是_.,对一切实数 x 恒成立，,练一练,【3】已知全集 且 , 则实数m 的取值范围是_.,对一切实数 x 恒成立，,练一练,练一练,例3.解关于x的不等式,解:原不等式可化为,(1)当a = 0 时, 原不等式即为,(2)当a0时,原不等式变形为：,当 a 0时，,当 a0时，,综上, 当a-2时,原不等式解集为,当 a =0时，,原不等式解集为,原不等式解集为,当 a 0时，,原不等式解集为,例4.解关于x的不等式,解:原不等式等价于,(1)当a1时,(2)当a1时,当a=0时, 原不等式为(x-2)2 0,

12、当0a1时,当a0时,综上, 当a1时, 原不等式解集为,当0a1时, 原不等式解集为,当 a=0时, 原不等式解集为 ;,当 a0时, 原不等式解集为,【1】关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为 x|0ax .则关于x的不等式cx2+bx+a0的解集为_ _.,则问题转化为,mg(x)min,解：m-2x2+9x在区间2，3上恒成立，,（1）变量分离法(分离参数),例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.,不等式恒成立问题,【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过

13、求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题,问题等价于f(x)max0,解：构造函数,（2）转换求函数的最值,例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.,不等式恒成立问题,则,解：构造函数,例5. 关于x的不等式 在区间 2, 3上恒成立,则实数m的取值范围是_.,（）数形结合思想,不等式恒成立问题,【1】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于xR恒成立,则实数m 的取值范围时( ),C,练一练,【2】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于x-1,1恒成立,则实数m 的取值范围是_.,练一练,【3】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-40 对于m-1,1恒成立,则实数x 的取值范围是_.,练一练,【4】设不等式 mx2-2x- m+10 对于满足|m|2的一切值都恒成立，则实数 x 的取值范围是_.,解: 设 f(m)=mx2-2x-m+1,【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数