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文档简介

1、5 行列式的性质,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,若记 ，则 .,记,性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,证明,根据行列式的定义，有,若记 ，则,行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,验证,于是,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有 ，所以 .,备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 .,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以此行列式.,验证,我们以三阶行列式为例

2、. 记,根据三阶行列式的对角线法则，有,备注：第 行（列）乘以 ，记作 .,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,备注：第 行（列）提出公因子 ，记作 .,验证,我们以4阶行列式为例.,性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如：,则,验证,我们以三阶行列式为例.,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,则,验证,我们以三阶行列式为例. 记,备注：以数 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 .,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为 上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,例3 设,证明,证明,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对 作运算 ，把 化为下三角形行列式,设为,对 D 的前 k 行作运算 ，再对后 n 列作运算 ， 把 D 化为下三角形行列式,故,(行列式中行与列具有同等的地位, 凡是对行成立的性质对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从

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