一阶变分 变分法复习进程.ppt

1、dL,1.变分法1.1 泛函与变分定义1.1.1 泛函的概念引例1： 平面两点 A (x0, y0)、B (x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。解：设A、B 两点间函数为y=y(x) 则由弧长微分公式 L 随函数y =y(x) 的选取而变，它是一个泛函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极值的自变函数曲线为 y =c1x+c2 ,1阶导数2个待定常数其中常数 c1 、c2可由边界点A、B的坐标（即边界条件）确定。,引例2：求通过两点A (x0, y0)、B (x1, y1)且长度l 为一定值的函数曲线y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。,（1.2） AS依y的选取

2、而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度 （1.3） 这是带约束条件的泛函极值由间接 变分法，泛函As的极值曲线为 其中常数c1,c2, r 可由条件 来确定。,引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函数ui(i=1,2,3)而变，u也是一个泛函。而ui必须满足的体积不变条件,L、As、都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号、J 表示，记作y(x)或(y)等。 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。,1.1.2 泛函自变函数的变分,函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 x, 称dx为自变量x微分。 泛函y(x),自变函数为y(x)，当y(x

3、) 变化无限小时，称为自变函数的变分，表为y(x) ，y y是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。,零阶接近度：对任何x值， 一阶接近度:不仅纵坐标值很接近. y1(x) 和y2(x)的差都很小， y = y2(x) y1(x) y = y2(x) y1(x)很小 . y= y(x)y1(x)也很小n阶接近度：,dy和y的区别,dy : 是针对一条曲线 y =y(x) ，当x= dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？ y： 是在x不变时，针对两条接近 的函数曲线 y(x) 和 y1(x) 的微差 y 。 y 是x 的函数。 y 在边界点一定为零

4、。,y,1.1.3 泛函的变分,微分一般定义 ：y=y(x+x)-y(x) A(x)x + (x,x)x 拉氏定义：微分也等于y(x+x)对导数在=0时的值。,(1.5),泛函变分定义,一般定义：,是泛函增量的 线性主部,拉格朗日定义,即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：,例：简单泛函 一阶变分。,泛函二阶变分及增量为：,1.2变分运算与泛函极值条件,1,2 变分号可由积分号外进入积分号内,1.2.1 运算规则,1.2.2 泛函极值的条件 泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果,泛函取极小值 ,泛函取极大值 (1.17),1.3 变分基本引理与欧拉方程,1.3.1 变分基本引理 设F(x

5、)在x0,x1上连续，( x)是一类任意的连续函数， 一阶或若干阶可微；在线段（x0，x1)端点为零； 若下列积分为零,则在 x0,x1 上就有F(x)0.,证明用反证法,1.3.2 欧拉方程,端点固定条件,由基本引理式(1.18),注意到F（x,y,y)是对x的全导数,代人式(1.20),上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可 求出使泛函(y)达到极值的y(x) ，称间接解法. 其它欧拉方程形式为：,1.4泛函的条件极值变分法,表1.1第四行：,构成新的泛函,新泛函欧拉方程组,共k+n个方程，k+n个未知数：,边界条件：2n?个积分常数,1.5 泛函极值的直接解法,以求解欧拉方程求极值函

6、数（解析解），叫泛函变分的间接解法 ，用近似方法直接求极端函数，叫直接解法，包括：有限差分法，里兹法，康托罗维齐法，有限元法，搜索法等，直接解法简单，得到近似解。,1.5.2 里兹法 设y是泛函(y)取极值m的极端函数，若 （试验函数）,满足给定的边界条件，且使泛函 之值接近于m, 则就是该问题的近似解. 步骤：,为n个任意的待定常数，wi 彼此线性无关 ,经先微分后积分,( i=1,2, ,n )，解上述方程组来确定ai ,代回原式即可，,1.5.3 康托罗维奇法化偏微分为常微分方程组,依赖多自变量的单自变函数的泛函,选取 以权重自变量xn为自变量的Ai(xn)待定函数 ；以其余自变量构成选取函数 i(x1,x.xn-1)；要 满足给定边界条件。,经微积分运算化掉 x1,x2.xn-1 ，得到以,为自变函数新泛函（多自变函数单变量）,代人原式即得到近似解 。,泛函解法综合例,例：求泛函 极值函数 1.间接法：,2.直接法Ritz法 满足边界条件函数,离散化成4单元5节点；i=0,1,2,3,4; 建立插值关系，写成矩阵形式； 计算单元泛函与总泛函； 总泛函求导建立联立方程组求