2019届高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案

1、6.3等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项

2、公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前

3、n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q0，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB)答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an

4、，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟).题型一等比数列基本量的运算1(2018开封质检)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.答案C解析由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.2(2018济宁模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3，a2a4，则_.答案2n1解析由除以可得2，解得q，代入得a12，an2n1，Sn4，2n1.思维升华

5、等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解题型二等比数列的判定与证明典例 (2018潍坊质检)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32

6、n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)

7、利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证跟踪训练 (2016全国)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.题型三等比数列性质的应用1(2017郑州三模)已知等比数列an，且a6a84，则a8(a42a6a8)的值为()A2 B4C8 D16答案D解析a6a84，a8(a42a6

8、a8)a8a42a8a6a(a6a8)216.故选D.2(2017云南省十一校跨区调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60C32 D50答案B解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选B.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口分类讨论思想在等比数列中的应用典

9、例 (12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1(nN*)3分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随

10、n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN*，有Sn.12分1(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5C31 D33答案D解析设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2.1q533，故选D.2(2017武汉市武昌区调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1等于()A2 B1C. D.答案B解析由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍去)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11，故选B.3(2

11、017张掖市一诊)已知等比数列an中，a32，a4a616，则的值为()A2 B4C8 D16答案B解析a54，q20，a54，q22，则q44.4(2017山西太原三模)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn3)(nN*)在函数y32x的图象上，等比数列bn满足bnbn1an(nN*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()ASn2Tn BTn2bn1CTnan DTnbn1答案D解析由题意可得Sn332n，Sn32n3，由等比数列前n项和的特点可得数列an是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式an32n1，设bnb1qn1，则b1qn1b1qn32n1，当n1时，b1b1q3

12、，当n2时，b1qb1q26，解得b11，q2，数列bn的通项公式bn2n1，由等比数列求和公式有：Tn2n1，观察所给的选项：Sn3Tn，Tn2bn1，Tnan，Tn1的n的最小值为()A4 B5C6 D7答案C解析an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21，T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故n的最小值为6，故选C.16(2017武汉市武昌区调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan(nN*)，则数列Sn的前9项和为_答案解析因为Sn(1)nan，所以Sn1(1)n1an1(n2)两式相减得SnSn1(1)nan(1)n1an1，