浅谈势能曲线及其应用.ppt

1、浅谈势能曲线及其应用,作者：,刘 晨、刘志勇 刘庆逊、刘加东,# 前言：,本文将用初等微积分的方法对势能曲线进行一些研究。其中将涉及一些前沿的科学名词，本文将以最简单的模型和通俗的方式进行定性讨论。定性为主、定量为辅，关键在于一些原理的解释。 有时，用牛顿定律解决物体运动问题十分复杂，而用能量则十分简单，加以图像的直观性，能量曲线，尤其是势能曲线，就成为了分析问题的先进工具，本文研究对象为一维势能曲线。,一.势能曲线的物理分析,F = U(x)（一维），可推出在图1-1与图1-2中，X0处物体分别处于稳定平衡和不稳定平衡。（用受力法分析） E（总能量）决定了物体的活动范围：物体在U(x)低于E

2、0的范围内活动（），但不能越过势垒（），故物体只能在或中某一个范围内运动，为物体运动的转向点。,图1-1,图1-2,图1-3,二.一种与势能曲线等效的图形,如把势能认作重力势能，因其与高度保持严格对应关系（Ep= mgh），便建立了与一维空间内势能曲线相对应的模型：重力场中仅受重力、支持力的沿光滑导轨滚动的小球。 于是，“一”中稳定与非稳定平衡又可从小球趋向最低能量的角度解释，因为能量最低原理很容易理解。另外，“一”中所说的转向点，就是瞬时速度为0点。,三.存在极限的势能曲线,二体万有引力：F引=G，取U(+)=0则,Mm r2,U(r)= - G，当U=0（r+）时，两物体,Mm r2,相距

3、无穷远，即分离态。使两物体从相距r0到相距无穷远，所需能量|U(r0)|称为离解能。,即：在r0处如将A物体固定而B物体得到|U(r0)|的动能（速度背离A物体）则两物体可分离。limV=0，V越来越小，但恒不为0。,r,建立一个简单的模型：把宇宙的内部作用视为二体万有引力，则在r0状态，宇宙势能表示为U(r0)。 当宇宙处于r0状态时，如Ek= |U(r0)|则limV=0，宇宙膨胀速度刚好大到避免引力塌缩，但并无剩余动能时，宇宙为临界状态； 如Ek略大，即：Ek |U(r0)|时，宇宙为膨胀宇宙； 如Ek略小，即：Ek |U(r0)|时，宇宙为闭合宇宙，必以大挤压终结。,r,2.二体分子力

4、：取 lim U(r)=0，因固体分子在,建立类似于1的简单模型：把固体内部分子力视为二体分子力。如每kg该物质含n,个分子，则汽化热为： |U(r0)| * n (J/kg) 综合1、2，虽然两模型十分简单，但对宇宙、分子势能状态的解释有很大帮助。 我们应该庆幸以上两种势能曲线是收敛的，否则离解能、汽化热和膨胀宇宙就都不存在，世界会因为没有气体而变得枯燥，我们也会因为害怕大挤压而睡不着觉。,r,r0附近做小能量振动，大小可忽略，故有类似结论：离解能为：|U(r0)|。,四.势垒、势阱、相图、分岔 和对称性自发破缺,1.简而言之：势垒就是图线中上突的部分，而势阱则是下陷部分。 某物体或某结构之

5、所以不稳定，是因为他们位于势垒之上；相反，稳定则是因为处于势阱之中。,在x0处的物体只具有U(x2) U(x0)的动能，才能越过势垒，否则它只能在势阱中振动。,V0X图或图等速度位置图称为相图。 如：简谐运动的相图为（这几条曲线分别是相同振动系统中，不同振幅的振动产生的图形）右图。 其中，振幅（或初速度）的改变仅引起相图的量变，但永远不引起质变。,“硬杆球”摆动模型相比之下更为复杂：当初速度不同时，相图可能发生大改变，甚至发生拓扑结构性变化分岔。,什么时候分岔呢？用势能曲线分析：当外界系统（运动环境）不变，仅由初速度或振幅影响相图时，这种分岔必伴随着越过新势垒。不越过新势垒，相图就不会多出一个

6、新的起伏，自然不会发生质变。,钉子 硬杆 球,为什么两个模型中一个会分岔而另一个不会呢？,前者：V= kx2；有一个无穷势垒，不能超越，相图就不能分岔。,1 2,后者:V=mgL(1-cos)，有可以越过的势垒，所以相图可以分岔。,也有时，相图的分岔原因是系统自身的改变，即相同的初速度也会由于其他参数的不同产生不同的相图。,3.在左图这样的光滑导轨上分别从（1）、（2）位置释放相同的小球，会得到完全不同的相图：（以A点为原点建立坐标系）,中图关于原点对称而右图则不然。从右图的势能曲线来考虑，小球陷入了关于原点不对称的势陷之中。由于参数V的改变引起了对称性的自发破缺。,五.三种平衡状态,1.三种

7、平衡状态：稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡点都是势能曲线的驻点f (x)=0，其中： 稳定平衡，f (x-0)0，小范围运动时，重心升高，导致物体回到原位。 不稳定平衡，f (x-0)0、f (x+0)0，小范围运动时，重心降低，导致物体偏离原位。 随遇平衡，f (x-0)=0、f (x+0)=0，小范围运动时，重心不变。,另有一些特殊情况如：U=x3 U(0)=0，所以x=0为曲线的一个驻点（平衡点） 向右小范围运动，重心升高； 向左小范围运动，重心降低， 表现为不稳定平衡。,2.在非惯性系中应用牛顿定律必须引入惯性力，离心力就是其中之一。离心力是有心力，其大小与位置有关，故可以找到一种与之对

8、应的势能离心势能。,以转动的圆锥摆，F离=m2x； 从轴线到角位置（以轴线为离心势能0点），离心力功W= - Ep离,=m2xdx=m2x2=m2L2sin2,1 2,1 2,所以处离心势能为- 2x2或=- m2L2sin2,1 2,1 2,3.许多转动中的平衡问题求解使人毛骨悚然，无从下手，而能量最低原理（此处为势能和最低点）能将其简化并使之容易理解，而处理转动自然要引用2中的离心势能。离心势能与重力势能之和最低，就是解题的主线。 例：质量为M的重锤挂在长为l的绳的下端，固定在一根以角频率旋转的棒上， 锤作匀速圆周运动，求平衡时绳 与铅直方向成的角。,Ep离= - m2L2sin2 =-

9、m2L2(1-cos2),Ep重=mgL(1-cos),1 2,1 2,Ep总=m2L2cos2mgLcos+mgL - m2L2,1 2,1 2,此时应画出Ep总cos图，但参数未定， 故曲线不确定，而对称轴：,b mgL g 2a m2L2 2L, = = ,因为0cos 1，所以有以下两种情况：,当1时，cos能取极值，,g 2L,即： g/L时，cos=,g 2L,=arccos,g 2L,当0g/L时，对称轴1，Ep在(0,1上单调递减，故cos=1，即：=0时，能量最低。,但以上考虑为重锤作r0转动的情况，但如重锤原地打转也无不可，故=0恒成立，应将其加入情况的解中。注意：此时为不

10、稳定平衡，加以微小扰动，重锤立刻变为转动，跃升到势能最低处。可见，用势能曲线加上参数讨论来研究平衡十分方便。,六.势阱中的领域振动：,我们知道，切线是一条与已知曲线最接近的直线，曲率圆是一个与已知曲线最接近的圆，而泰勒级数是一条与已知曲线最近的多项式函数曲线。取最低点为原点，利用泰勒级数的前三项，足以满足精确度，可以构造出Ax+Bx=0的式子（简谐振动）。 U(x)=U0+U0 x+U0 x2，移轴化简得： U(x)=U0 x，F= - dU/dx =- U0 x; 所以简谐振动：k=U0代入T=2m/k 得到的T=2m/k 就是振动周期。,1 2,1 2,七.势能与运动方程,为了便于与（牛顿

11、）运动方程联系，必须实现从能量到时间等运动学量的转化： 2Ek/m =V=dx/dt=E U(x)， dt=dx /2E-U(x)/m，这样就导出了物体从势能曲线上一点运动到另一点的时间公式。 例：U(x)=-1/x (m=2kg，E=0 J，X:12),dt= xdx，所以t=x |=（2 -1）1.2s,t 0,2 1,2 3,2 3,1.5,1.5,另外：F= - 。于是运动方程问题迎刃而解。,dU(x) dx,八.势能及其曲线的局限性,1.对一些绕原子核运动的电子，其能级是分立的，具有量子化特点，它们的势能曲线不连续，无法用来分析。 2.微观粒子具有明显的波动性，故遇到势垒时，会像波碰到一层介质一样：部分透射，部分反射。对同一位置的粒子，由不确定性关系，它的能量会随时间产生不确定地变化。 可见能级分立、波粒二象性、不确定性关系等微观特点活在微观下才变得明显的特点，阻碍了势能曲线的应用。所以：在微观下慎用势能曲线。,#小结,经过以上这些讨论，我们发现，从势能角度，用图像，可以得出简单而易于理解的结果。 但在应用图像时，也应该注意它的使用范围。 可以说：势能曲线是一种重要工具。,#参考文献,物理学，马根源等著 力学原理导论，W豪瑟著 物理学，D哈里德著 力学引论，DKleppner著 新概念物理教程，赵凯