3.3.1几何概型

1、高中数学 必修3,3. 3几何概型（2）,古典概型,几何概型,联系,区别,概率公式,基本事件个数的有限性,基本事件发生的等可能性,基本事件发生的等可能性,基本事件个数的无限性,几何概型与古典概型的区别和联系.,复习 与长度有关的几何概型： 有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米 的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本 事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.,思维启迪,讲义课后作业6、 书p110第6题 讲义8、10、11、12 几何概型2例3练习,在数轴上，设点x-3,3中按均匀分布出现，记a(-1,2为事件A，则P（A）=（ ） A1 B0 C

2、1/2 D1/3,在RtABC中,A=30,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M, 求使|AM|AC|的概率. 思维启迪 如图所示,因为过 一点作射线是均匀的,因而应把在 ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在ACB 内任一处,使 |AM|AC|的概率只 与BCC的大小有关,这符合几 何概型的条件.,变式训练 在正方形ABCD内随机取一点P，求APB 90的概率,B,C,APB 90？,概率为0的事件可能发生！,平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚 半径为1 cm的硬币任意平抛在 这个平面上,则硬币不与任何一条 平行线相碰的概率是 ( ) A. B.

3、C. D.,B,解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故所求概率为,讲义上例4 P110第7题,变式训练 1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上, 掷一枚半径为1 cm的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压 在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次； 若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？,思维启迪,应用几何概型的概率计算公式P(A)= 即可解决此类问题.,(2)考虑小圆板

4、的圆心在以塑料板顶点为圆心的 圆内, 因正方形有四个顶点,所以概率为,解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形 围成的区域内,所以概率为,探究提高,几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.,讲义上例2,可化为几何概型的概率问题 例3 甲、乙两人约定在7时到8时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率. 思维启迪 在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示7时到8

5、时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、 乙两人分别在7时到8时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|20所对应的图中阴影部分表示.,以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达 约定地点的时间,则两人能够会面的充要 条件是|x-y|20. 在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的 所有可能结果是边长为60的正方形区域, 而事件A“两人能够会面”的可能结果 由图中的阴影部分表示. 由几何概型的概率公式得： 所以,两人能会面的概率是,20,20,探究提高 (1)甲、乙两人都是在67时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y轴

6、上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中 正方形内的任一点. (2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出 来,分别计算面积即可. (3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表 示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问 题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积 型几何概型的问题.,变式训练：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊 两艘轮船 的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是 等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为 2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率.,解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y, 则0 x24,0y24且y-x4或y-x-4. 作出区域 设“两船无需等待码头空出”为事件