中考必会几何模型：角平分线四大模型

1、Wang角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线 如图，P是MON的平分线上一点，过点P作PAOM于点A，PBON于点B，则PBPA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图，在ABC中，C90，AD平分CAB，BC6,BD4,那么点D到直线AB的距离是 解答：如图，过点D作DEAB于点E，AD平分CAB,CDDE.CB6,BD4,DECD2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图，12，34，求证：AP平分BAC证明：如图，过点P作PDAB于点D，PEBC于点E，P

2、FAC于点F，12，PDPE,34, PEPF，PDPF又PDAB，PFAC，AP平分BAC（角平分线的判定）练习1、 如图，在四边形ABCD中，BCAB，ADDC,BD平分ABC ，求证：BADBCD180 证明：作DEBC于E，作DFBA的延长线于F，FDEC90, BD平分ABC,DFDE，又ADDC，DFADEC,FADCFADBAD180，BADBCD1802.如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP相交于点P，若BPC40，则CAP .解答：如图所示，作PNBD于N，作PFBA，交BA延长线于F，作PMAC于MBP、CP分别是CBA和DCA的角平分线，ABPCB

3、P,DCPACP，PFPNPM，BACACDABC，BPCPCDPBC(外角性质)BAC2PCD2PBC2(PCDPBC)2BPC80CAF180BAC100，PFPMAP是FAC的角平分线，CAPPAF50模型2 截取构造对称全等如图，P是MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OBOA,连接PB，则OPBOPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称 性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与

4、ABAC的大小，并说明理由解题：PB+PCAB+AC证明：在BA的延长线上取点E, 使AEAB,连接PE，AD平分CAECADEAD，在AEP与ACP中，AEAB，CADEAD,APAP，AEPACP （SAS），PEPC在PBE中：PB+PEBE,BEAB+AEAB+AC，PB+PCAB+AC（2）如图所示，AD是ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PCPB与ACAB的大小，并说明理由解答：AC-ABPC-PB证明:在ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，AC-AE=AB-AC=BE AD平分BAC ，EAP=BAP ，在AEP和ACP中 AEPABP (SAS) ，PE=PB

5、，在CPE中 CECP-PE ，AC-ABPC-PB练习1. 已知，在ABC中，A2B,CD是ACB的平分线，AC16,AD8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CEAC，连结DE，在ACD和ECD中ACDECD(SAS)ADDE ， A1 ，A2B，12B，1BEDB ， BEDB，EBBED ， EBDA8，BCECBEACDA168242. 在ABC中，ABAC,A108,BD平分ABC，求证：BCABCD 证明：在BC上截取BEBA，连结DE，BD平分ABC,BEAB,BDBDABDEBD(SAS)，DEBA108，DEC18010872ABAC，CABC(180108)36，EDC

6、72 ，DECEDC，CECD ，BECEABCD，BCABCD3.如图所示，在ABC中，A100,ABC40,BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DEAD，求证：BCABCE证明：在CB上取点F，使得BFAB,连结DF，BD平分ABC，BDBDABDFBD，DFADDE,ADBFDB，BD平分ABCABD20,则ADB1802010060CDECDF180ADBFDB60，CDFCDE，在CDE和CDF中CDECDF，CECF，BCBFFCABCE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则AOB是等腰三角形.模型分析构造

7、此模型可以利用等腰三角形的三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，A=90, AB=AC, BD平分ABC, C丄BD.垂足为E.求证：BD=2C.解答：如图，延长CE、BA交于点F,CE丄BD于E, BAC=90，BAD=CED.ABD=ACF.又AB=AC, BAD=CAF=90, ABDACF. BD=CF.BD平分ABC, CBE=FBE. 又BE=BE,BCEBFE. CE=EF. BD=2CE.练习1.如图.在ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：

8、2=1+C. 证明：延长AD交BC于F,ADBE, ADB=BDF=90, ABD=FBD, 2=BFD. BFD=1+C,2=1+C.2.如图.在ABC中. ABC=3C,AD是BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:. (2)证明:延长BE交AC于点F.AD为BAC的角平分线,BAD=CAD.AE=AE,BAE=FAE,则AEBAEF，AB=AF, BE=EF, 2=3.AC-AB=AC-AF=FC.ABC=3C,2+1=3+1=1+C+1=3C.21=2C即1=C BF=FO=2BE.模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.

9、为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图.ABC中，EFBC,点D在EF上,BD、CD分别平分ABC、ACB.写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？(2)如图，BD平分ABC,CD平分外角ACG. DE/BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DE/BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？ 解答：(1) EF/BC,EDB=DBC.BD平分EBC，EBD=DBC=EDB. EB=ED.同理：DF=

10、FC. EF=ED+DF=BE+CF.(2)图中有EF=BE=CF，BD平分BAC,ABD=DBC.又DE/BC、EDB=DBC.DE=EB.同理可证：CF=DF EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF. 练习1.如图. 在ABC中,ABC和ACB的平分线交于点E.过点E作MNBC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为 . 解答：ABC、ACB的平分线相交于点E,MBE=EBC，ECN=ECB.MN/BC,EBC=MEB, NEC=ECB. MBE-MEB, NEO=ECN.BM=ME, EN=CN.MN=ME+EN,即MN=BM+CN.BM+CN=9,MN=9.2. 如图. 在ABC中,AD平分BAC.点E、F分別在BD，AD上,EFAB.且DE=CD,求证：EF=AC. 证明：如图，过点C作CMAB交AD的延长线于点M,ABEF,CMEF.3=4.DE=CD, 5=6, DEFDCM.EF=CM. AB/CM,2=4. 1