矩阵5.ppt

1、第5章 Hermite矩阵与正定矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.4 Hermite矩阵的特征值*,5.3 矩阵不等式,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,Hermite矩阵的性质：,(1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是Hermite矩阵；,(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则 A-1也是Hermite矩阵；,(3) 如果 A, B是Hermite矩阵，则对任意实数 k, l , kA+l B也是Hermite矩阵；,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,(4) 若A, B是Hermite矩阵，则 AB也是Herm

2、ite矩阵的充分必要条件是AB = BA；,(5) A 是 Hermite 矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S，SH AS 是Hermite矩阵。,定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则,定理5.1.1 设 ，则 A 是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意 ， 是实数。,(1) A的所有特征值全是实数；,(2) A的属于不同特征值的特征向量互相正交。,定理5.1.3 设 ，则 A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U 使得,定理5.1.4 设 ，则 A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q 使得,设 A是 n 阶Hermite矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P

3、,使得 则称 D0 为 A的相合标准形；s 称为A的正惯性指数；r-s 称为A的负惯性指数。,定理5.1.6 Hermite矩阵的相合标准形是唯一的。,定理5.1.7 设 A, B是 n 阶Hermite矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的正惯性指数。,称A为Hermite二次型的矩阵，称 A的秩为Hermite二次型的秩。,是Hermite二次型(简称二次型），其中,定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉线性变换 x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite二次型 f (x)变成标准形,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,定义

4、5.2.1,正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：,定理5.2.1 设 A 是 n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：,(1) A 是正定矩阵；,(2) 对任意 n 阶可逆矩阵P, PHAP 都是Hermite正定矩阵；,(3) A 的 n 个特征值均为正数；,(4) 存在 n 阶可逆矩阵 P 使得 PHAP = I；,(5) 存在 n 阶可逆矩阵 Q 使得 A = QHQ；,(6) 存在 n 阶可逆Hermite矩阵 S 使得 A = S2.,推论5.2.1,定理5.2.2 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即,定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵

5、 A正定的充分必要条件是A 的所有主子式全大于零。,定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得 。,例5.2.1若A，C均为n 阶Hermite正定矩阵，且AC=CA，则AC为正定矩阵。,例5.2.2设n 阶Hermite矩阵A 有如下分块：,则A0的充要条件是 ，此时,注1如果 （或者 ，或者 ）且 ，则,例5.2.3若 是n 阶Hermite 正定矩阵，则,其中为A 的n-1阶顺序主子矩阵，且等号成立当且仅当。,注2设 是n 阶Hermite正定矩阵，则,注3设A 是n 阶Hermite半正定矩阵，则上述不等式也成立。,定理5.2.

6、5 设 A是秩为r 的n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：,(1) A 是非负定矩阵；,(2) 对任意 n 阶可逆矩阵P，PHAP 是Hermite非负定矩阵；,(3) A的n 个特征值均为非负数；,定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵A 非负定的充分必要条件是A 的所有主子式均非负。,推论5.2.2,定理5.2.7 设A, B 均为n 阶Hermite矩阵，且B0，则存在非奇异矩阵 P 使得,例5.2.4 设A, B 是n 阶Hermite矩阵，且A0，B0，证明,注4 设A, B 是n 阶Hermite矩阵，且A0，B0，则也有 。,5.3 矩阵不等式,定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若AB 0，则称A 大于或等于B（或称 B 小于或等于 A），记作AB（或BA）；若AB0，则称A大于B（或称B小于A），记作AB(或BA）。,设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，则,定理5.3.1 设A, A1, B, B1, C均为n 阶Hermite矩阵，则,定理5.3.2 设A，B是n 阶Hermite矩阵，且A0， B0，则,定理5.3.3 设A 是n 阶Hermit