材料力学_扭转.ppt

1、第三章 扭转,受力变形特点: 外载为垂直于杆轴线的平面内的力偶，即外力偶矩的矢量方向沿杆件的轴线(扭力矩)。各横截面绕轴线发生相对转动，任意两横截面相对转过的角度，称为两截面的相对扭转角，用表示。以扭转变形为主的直杆称为轴，材料力学主要讨论圆轴扭转问题。,3.1传动轴的动力传递扭矩,在传动轴的扭转计算中扭力矩通常由轴所传递的功率换算得到。根据功率方程：,注意到扭力矩的单位用N m；功率的单位用kW和转速的单位用r/min。有：,外力确定后，任意横截面上的内力可用截面法计算。,由隔离体平衡条件，横截面上的内力分量只有矢量方向沿轴线的力偶矩。称为扭矩，用T 表示，其符号以扭矩矢量的指向与截面的外法

2、线方向一致为正，反之为负。,一般情况下，扭矩可表示为截面位置的函数，即扭矩方程，其图形称为扭矩图。,例：图示为一机器的传动轴,其转速n = 700r/min,主动轮A的输入功率为PA = 400 kW,从动轮B、C和D的输出功率分别为PB = PC =120kW，PD =160kW。试计算轴内（数值）最大的扭矩。,解：计算扭力矩,用截面法计算各段轴内的扭矩,扭矩方程,根据扭矩方程画扭矩图,从图上可看出，最大扭矩发生在CA段内各截面,例：图示为一机器的传动轴,其转速n = 700r/min,主动轮A的输入功率为PA = 400 kW,从动轮B、C和D的输出功率分别为PB = PC =120kW，

3、PD =160kW。试计算轴内（数值）最大的扭矩。,解：,若改变各传动轮的位置，则有：,|Tmax| =5457Nm,|Tmax| =3820Nm,|Tmax| =3274Nm,3.2薄壁圆轴的扭转 切应力互等定理,一、横截面上的切应力,t,r0,l,二、切应力互等定理,剪切胡克定律，G 称为剪切弹性模量(切变模量)，常用单位为GPa。,切应力互等定理：微元体互垂平面上与平面交线垂直的切应力数值相等，方向为同时指向或离开交线。,纯剪切应力状态,3.3圆轴扭转时的应力强度条件,一、横截面上的应力,圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形后横截面仍为平面，形状大小不变，半径保持为直线，相邻两横截面间距离不

4、变。,横截面上任一点处切应变与该点到轴线的距离成正比,横截面上任一点处切应力与该点到轴线的距离成正比，且与半径垂直，指向与扭矩对应。,Ip 称为截面对形心的极惯性矩，GIp 称为杆件的抗扭刚度。,Wp 称为抗扭截面系数,3.3圆轴扭转时的应力强度条件,二、极惯性矩和抗扭截面系数（模量）,空心圆截面：,实心圆截面：,当 t/R0 1/10 时，采用薄壁圆轴公式计算结果相对误差在5% 以内。,3.3圆轴扭转时的应力强度条件,三、斜截面上的应力 纯剪切应力状态,整理得：,设斜截面的面积为 dA，由斜截面法向 n 和切向 t 的平衡方程，有：,纯剪切应力状态,3.3圆轴扭转时的应力强度条件,四、强度条

5、件,扭转许用切应力：,塑性材料：扭转屈服极限s,圆轴扭转强度条件：,脆性材料：扭转强度极限b,例： 某传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D =66mm，壁厚 t=5mm，使用时最大扭矩为T =1500N.m,试校核此轴的强度。已知=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相当，则实心轴的直径 D1为多少？,解：计算传动轴的抗扭截面模量,计算轴内最大切应力及强度校核,满足强度条件，传动轴安全,若采用相同强度的实心轴，有：,两种轴的横截面积和重量比分别为：,因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节约材料、比较经济。,3.4圆轴扭转时的变形刚度条件,一、扭转变形,圆轴扭转的变形用

6、相对扭转角度量,弧度/米 (rad/m),单位长度扭转角：,弧度(rad),3.4圆轴扭转时的变形刚度条件,二、刚度条件,一般传动轴：,度/米 (o/m),精度要求不高的轴：,精密机器的轴：,例：一空心圆轴如图所示，在A、B、C 处受扭力偶作用。已知 MA=150Nm , MB=50Nm , MC=100Nm，l1 = l2= 1 m，材料的 G=80GPa，试求:(1)轴内的最大切应力max ;(2)C 截面相对A截面的扭转角AC 。,解：,求最大切应力：,最大切应力在 BC 段各截面周边处,求相对扭转角AC ：,例：在前面例中的传动轴系钢制实心圆轴，其扭转许用切应力=40MPa ，切变模量

7、G = 80GPa，许用单位长度扭转角=0.5 o/m 。试设计轴的直径D。,解：等截面圆轴，危险截面在扭矩最大的轴段,根据强度条件：,根据刚度条件：,轴的直径取 D = 84mm ，可同时满足强度和刚度条件,例：图示两端固定的圆轴AB，在截面C 处受扭力矩 M0 的作用，试求两固定端的反力偶矩。,解：平衡条件,一次扭转超静定问题,变形协调条件,由物理关系得补充方程,求解得,约束反力偶确定后，轴的内力即可求出，进而可作强度和刚度的计算。,例：图示圆轴1和圆轴2，由凸缘（视为刚体）及螺栓相连接。设左、右凸缘上的螺栓孔存在= 3o 的角误差，试分析安装后轴与螺栓的应力。已知轴1和轴2的直径分别为

8、d1=60mm 与 d2=50mm，轴长分别为 l1=1m与 l2=2m，螺栓的直径d=15mm，并位于直径 D=100mm 的圆周上，轴的切变模量G=80GPa。,解：轴的切应力分析,一次超静定,变形协调条件,例：图示圆轴1和圆轴2，由凸缘（视为刚体）及螺栓相连接。设左、右凸缘上的螺栓孔存在= 3o 的角误差，试分析安装后轴与螺栓的应力。已知轴1和轴2的直径分别为 d1=60mm 与 d2=50mm，轴长分别为 l1=1m与 l2=2m，螺栓的直径d=15mm，并位于直径 D=100mm 的圆周上，轴的切变模量G=80GPa。,解：轴的切应力分析,各轴内的最大切应力为,螺栓的切应力分析,3.

9、5扭转专题简介,一、矩形截面杆的自由扭转,实验表明非圆截面杆扭转时横截面不再保持为平面，会发生翘曲。,自由扭转时横截面上切应力的分布：,周边上各点的切应力与周边相平行，形成和扭矩 T 同向的顺流。角点处切应力为零。,若扭转时杆的端面和其他部位不受约束，则各横截面的翘曲程度相同，横截面上仅有切应力，称自由扭转。否则称约束扭转，约束扭转时横截面上还会有正应力。,最大切应力发生在长边的中点，短边中点切应力值也比较大。,、与比值 h/b 有关，当h/b10,=1/3,狭长矩形截面上沿长边各点的切应力基本相等。,3.5扭转专题简介,二、闭口薄壁杆的自由扭转,闭口薄壁杆自由扭转时横截面切应力分布特点：,同一截面上任一点的切应力与相应壁厚之积等于常量，最大切