高二数学PPT之人教版高中数学选修4-5课件：2.3反证法与放缩法.ppt

1、反证法与放缩法,高二数学PPT之人教版高中数学选修4-5课件：2.3反证法与放缩法,【自主预习】 1.反证法 (1)方法:先假设_,以此为出发点,结 合已知条件,应用_等,进行正 确的推理,得到和_(或已证明的定理、性,要证的命题不成立,公理、定义、定理、性质,命题的条件,质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正 确,从而证明_,我们把它称为反证法. (2)适用范围:对于那些直接证明比较困难的否定性命 题,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问 题,常常用反证法证明.,原命题成立,2.放缩法 (1)方法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分 的值_或_,简化不等式,从而达到证明的

2、目 的,我们把这种方法称为放缩法. (2)关键:放大(缩小)要适当.,放大,缩小,【即时小测】 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,可把下列哪些作为条件使用() (1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等.(4)原结论. A.(1)(2)B.(2)(3) C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(4),【解析】选C.根据反证法的定义可知,用反证法证明过程中,可应用(1)结论的反设.(2)已知条件.(3)定义、公理、定理等推出矛盾.,2.在ABC中,若AB=AC,P是ABC内的一点,APB APC,求证:BAPCAP用反证法证明时的假设为_.,【解析】反证法对结论的否定是全面否定,

3、 BAPCAP. 答案:BAP=CAP或BAPCAP.,【知识探究】 探究点反证法与放缩法 1.用反证法证明时,导出矛盾有哪几种可能? 提示:与原命题的条件矛盾; 与假设矛盾; 与定义、公理、定理、性质矛盾; 与客观事实矛盾.,2.用反证法证明命题“若p则q”时, q假,q即为真吗? 提示:是的.在证明数学问题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者中居其一, q是q的反面,若q为假,则q必为真.,【归纳总结】 1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设,2.放缩法证明不等式的理论依据 (1)不等式的传递性. (2)等量加不等量为不等量. (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大

4、小的比较.,3.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母. (3)应用重要不等式放缩,如a2+b22ab, (4)利用函数的单调性等.,类型一利用反证法证明否定性命题 【典例】设0a2,0b2,0c2,求证:(2-a)c, (2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1. 【解题探究】典例中待证结论的反面是什么? 提示:待证结论的反面为,【证明】假设(2-a)c1,(2-b)a1,(2-c)b1, 则(2-a)c(2-b)a(2-c)b1, 因为0a2,0b2,0c2, 所以(2-a)a =1. 同理:(2-b)b1,(2-c)c1.,所以(2-a)a(2

5、-b)b(2-c)c1, 这与式矛盾. 所以假设不成立. 即:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.,【方法技巧】 1.用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.,2.否定性不等式的证法及关注点 当待证不等式的结论为否定性命题时,常采用反证法来证明,对结论的否定要全面不能遗漏,最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.,【变式训练】1.(2016泰安高二检测)用反证法证明 命题“如果ab,那么 ”时,假设的内容是(),【解析】选C

6、.结论 的否定是 或 成立.,2.已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列. 求证: 不成等差数列. 【证明】假设 成等差数列,则 即a+c+ =4b, 又三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b= .,所以a+c+2 =4 ,即a+c-2 =0, 所以( )2=0,所以 ,即a=c. 从而a=b=c,这与已知中a,b,c不成等差数列矛盾, 所以原假设错误,故 不成等差数列.,类型二利用反证法证明“至少”“至多”型问题 【典例】已知f(x)=x2+px+q,求证: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2. (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .

7、,【解题探究】典例(2)中待证结论的反设是什么? 提示:反设是|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 .,【证明】(1)由于f(x)=x2+px+q, 所以f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 , 则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,(*),又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2. 所以|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2与(*)矛盾,假设不 成立. 故|f

8、(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 .,【延伸探究】 1.若本例条件变为“a3+b3=2”,求证:a+b2. 【证明】假设a+b2,而a2-ab+b2= 但取等号的条件为a=b=0,显然不可能, 所以a2-ab+b20. 则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2a2+b22ab.从而ab2,得(a+b)24,出现矛盾,故假设不成立,原结论成立,即a+b2.,2.将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=x2+px+1”,求证:|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2. 【证明】假设|f(1)|,|f(-1

9、)|都小于2, 则有|f(1)|+|f(-1)|4,(*) 又|f(1)|+|f(-1)|f(1)+f(-1) =(1+p+1)+(-1)2+(-1)p+1=4.,所以|f(1)|+|f(-1)|4与(*)矛盾,假设不成立. 故|f(1)|,|f(-1)|中至少有一个不小于2.,【方法技巧】“至多”“至少”型问题的证明方法 (1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.,(2)在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.,【变式训练】若a,b,c

10、均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2- 2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大于零.,【证明】假设a,b,c都不大于零,则a0,b0,c0, 所以a+b+c0. 而a+b+c= =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3,所以a+b+c0,这与 a+b+c0矛盾.故a,b,c中至少有一个大于零.,类型三利用放缩法证明不等式 【典例】求证: (nN+且n2). 【解题探究】典例中如何将 中的分母适 当放大或缩小转化为求和的形式? 提示: (nN+且n2).,【证明】因为k(k+1)k2k(k-1), 所以 即 (kN+且k2). 分别令k=2,3,n得,将这些不等式相加得,所以 即 (nN+且n2)成立.,【方法技巧】放缩法证明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即AC,后证CB.常用的放缩技巧有:,(1)舍掉(加进)一些项. (2)在分式中放大(缩小)分子(分母). (3)应用基本不等式进行放缩.,【变式训练】已知S= (n是大于2的自然数),则有() A.S1B.2S3 C.1S2D.3S4,【解析】选C.由 又因为S= 1.,【补偿训练】已知an=4n-2n,Tn= 求证:T1+T2+T3+Tn,【证明】