中考必会几何模型：圆中的辅助线

1、圆中的辅助线模型1 连半径构造等腰三角形已知AB是O的一条弦，连接OA，OB，则AB模型分析在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题模型实例如图，CD是O的直径，EOD84，AE交O于点B，且ABOC，求A解答：如图，连接OB，ABOC，OCOB，ABBOBOCAEBOBOCA2A而OBOE，得EEBO2A1如图，AB经过O的圆心，点B在O上，若ADOB，且B54试求A的度数ABOCD解答：如图，连接OC、ODB54，OCOB，AOC2B108又ADOBOD，AAODOCOD，OCAODCAAOD2AA

2、OCAAOCA2A108180A242如图，AB是O的直径，弦PQ交AB于M，且PMMO，求证：则ABOQMP证明：如图，连接OP、OQPMOM，PMOPOPOQ，PQQMO2MOP，BOQ3MOPAOPBOQ模型2 构造直角三角形如图，已知AB是O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则ACB=90o.如图，已知AB是O的一条弦，过点O作OEAB，则OE2+AE2=OA2.模型分析 (1) 如图,当图形中含有直径时,构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路,在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造.(2)如图，在解决求弦长、弦心距、半径问题时，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，利用弦心距

3、、半径和半弦组成一个直角三角形，再利用勾股定理进行计算.模型实例例1 已知O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，BE=6，DEB=60o.求CD的长.ABODFCE解答:如图,过O作于点，连接，在中,DEB=60,OE=2,EF=1,OF=.在RtODF中,.OFCD,CD=2DF=例2如图,AB是O的直径,AB=AC,BC交O于点D,AC交O于点E,BAC=45.CBOADE(1)求EBC的度数;(2)求证:BD=CD.解答 （1）ABAC，BAC45，ABCACB67.5AB是直径，AEB90，EBC9067.522.5（2）连接AD，AB是直径，ADB90又ABAC，BDCD(等腰三

4、角形三线合一性质)练习1如图，O的弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AE5，BE13，点O到AB的距离为2求点O到CD距离，线段OE的长即O的半径ABCDEO解答：如图，连接OB，过O分别作OMAB于点M，ONCD于点NABAEBE51318，AMAB9又OM2，在RtOBM中，BO11，由图知，四边形ONEM是矩形，ONEMAMAE954，OE22已知，AB和CD是O的两条弦，且ABCD于点H，连接BC、AD，作OEAD于点E求证：OEBCABCDEHO证明：如图，连接AO并延长交O于点F，连接DF、BDOEAD，AEDEOAOF，OE是ADF的中位线OEDFABCD，ABDCDB90AF是

5、直径，ADF90DAFF90ABDF，CDBDAFDFBCOEBC3如图，直径AB2，AB、CD交于点E且夹角为45则CE2DE2_ABCDEO解答：如图，过点O作OFCD于点F，连接OD设OFa，DFb，则在RtOFD中，a2b21CFDFbBED45，OFEFaCE2DE2(ba)2(ab)22(a2b2)2模型3 与圆的切线有关的辅助线ABCO模型分析（1）已知切线：连接过切点的半径；如图，已知直线AB是O的切线，点C是切点，连接OC，则OCAB（2）证明切线：当已知直线经过圆上的一点时，连半径，证垂直；如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OCAB，则直线AB是O的切线如果不

6、知直线与圆是否有交点时，作垂直，证明垂线段长度等于半径；如图，过点O作OCAB，证明OC等于O的半径，则直线AB是O的切线模型实例例1如图，OA、OB是O的半径，且OAOB，P是OA上任意一点，BP的延长线交O于Q，过Q点的切线交OA的延长线于R求证：RPPQRBOQAP证明连接OQOQOB，OQBOBQRQ为O的切线，OAOB，BPO90OBQ，BQR90OQBBPOQPBBQRRPRQ例2如图，ABC内接于O，过A点作直线DE，当BAEC时，试确定直线DE与O的位置关系，并证明你的结论ABCDEO解答直线DE与O相切，理由如下：连接AO并延长，交O于点F，连接BFBAEC，CF，BAEFA

7、F为直径，ABF90FBAF90BAEBAFFADE又AO是O的半径，直线DE与O相切小猿热搜1如图，在ABC中，以AB为直径的O分别与BC、AC相交于点D、E，BDCD，过点D作O的切线交AC于点F求证：DFACABCDEFO证明：如图，连接ODDF是O的切线，D为切点，ODDFODF90BDCD，OAOB，OD是ABC的中位线ODACCFDODF90DFAC2如图，AB是O的直径，AC是它的切线，CO平分ACD求证：CD是O的切线ABCDO证明：如图，过O点作OECD于点EAC是O的切线，OAACCO平分ACD，OECD，OAOECD是O的切线3如图，直线AC与O相交于B、C两点，E是的中

8、点，D是O上一点，若EDAAMD求证：AD是O的切线ABCDEMO证明：如图，连接OE交BC于点F，连接ODE是是的中点，OEBCEEMF90EDAAMD，AMDEMF，ADME90OEOD，EODEODEADM90，即ODA90ODADAD是O的切线 赠送高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程的两实根为，且令，从以下四个方面来分析此类问

9、题：开口方向： 对称轴位置： 判别式： 端点函数值符号 kx1x2 x1x2k x1kx2 af(k)0 k1x1x2k2 有且仅有一个根x1（或x2）满足k1x1（或x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 k1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数在闭区间上的最值 设在区间上的最大值为，最小值为，令（）当时（开口向上）若，则 若，则 若，则xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)xy0aOabx2-=pqf(p)f(q)若，则 ，则xy0aOabx2-=