26.1二次函数及其图象

1、第22章,22.1 二次函数(1),二次函数,二次函数的基本概念,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y, 并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的函数, x是自变量.,函数,一次函数,y=kx+b (k0),(正比例函数) y=kx (k0),函数:,正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式为.,问题1:,y=6x2,此式表示了正方体的表面积y与棱长x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.,此式表示了多边形的对角线数d与 边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函

2、数.,多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？,n边形有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作条对角线.因此,n边形的对角线总数 d =.,n,(n3),问题2:,即:,某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?,问题3:,这种产品的原产量是20件,一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为: .,y=20(1+x)2,20(1+x)2,20(1+x),y=20 x2+40 x+20,此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍

3、数x之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.,即:,二次函数的定义,y=6x2,y=20 x2+40 x+20,观察下列函数有什么共同点:,一般地,形如,的函数,叫做二次函数. 其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,y=ax2+bx+c,函数都是用自变量 的二次式表示的.,(a,b,c都是常数,且a0),二次函数解析式特征,一般地,形如,的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.,(1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的,(3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项

4、和 常数项，但不能没有二次项.,注意:,(2) a,b,c为常数，且,(4) 自变量x的取值范围是,整式,a0.,2,任意实数,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),二次函数的一般形式:,二次函数的特殊形式： 当b0时， yax2c 当c0时， yax2bx 当b0，c0时， yax2,y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a0),例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x1)+1 (2)y=x+ (3)s=32t (4)y=(x+3)x (5)y= x (6)v= r ,例题与练习,(7) y=x+x+25,(8)y=

5、2+2x,(是),(否),(是),(否),(否),(是),(否),(否),(9)y=mx+nx+p (m,n,p为常数）,例题与练习,例2. y=(m+3)x (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?,m27,看谁算得快!,1.函数 是一次函数，求k的值。,0,2.函数 是二次函数， 求m的值。,2,3.函数 是二次函数， 求m的值,2,例3、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地 面积S(m)与矩形一边长a(m)之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？,解:,例题与练习,S是 a 的二次函数。,a

6、,例题与练习,例4.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有那些变量?,(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子 树?这时平均每棵树结多少个橙子?,(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之 间的关系式.,果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(6005x)个橙子,y=(100+x)(6005x)=5x+100 x+60000,练习: 1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半

7、径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球 队数 n 之间的关系式.,3.函数 y=(mn)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m0 (B) m,n是常数,且n0 (C) m,n是常数,且mn (D) m,n为任何实数,4. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm. (1)写出y与x之间的函数关系表达式； (2)当圆的半径分别增加1cm, ， 2cm时,圆的面积增加多少?,如果函数y= +kx+1是二次函数, 则k的值一定是_,如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数, 则k的值一定

8、是_,0,0或3,如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次 函数,则k的值一定是_,3或1或2,拓展与提高,回味无穷,1.定义：一般地,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax(a0,b=0,c=0,). (2)y=ax+c(a0,b=0,c0). (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的函数, x是自变量.,二次函数,函数,一次函数,y=kx+b (k0),(正比例函数) y=kx (k0),函数:,函数及函数的类型:,y=ax+bx+c,1、将进货单价为40元的商品按50元卖出时,就 能卖出500个,已