一元二次方程的概念.ppt

1、一元二次方程的概念,某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？,问题1：,解：设长方形绿地的宽为x米，得,变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？,解：设长方形绿地的宽为x米，得,思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？,思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？,思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个名称吗？,思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数

2、是2的整式方程，叫做一元二次方程。,一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？,ax=b (a0）,ax2+bx+c=0 (a0）,都是整式方程，只含有一个未知数,未知数最高次数是1,未知数最高次数是2,整式方程,一元二次方程的概念,像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。, 都是整式方程;, 只含一个未知数;,未知数的最高次数是2.,即：一元二次方程的特点:,（默1）,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式.,为什么要限制a0，b,c可以为零

3、吗？,a x 2 + b x + c = 0,(a 0),b是一次项系数,一元二次方程的一般形式,a是二次项系数,常数项,二次项,一次项,“=”的右边必须整理成0.,（默2）,ax2+bx=0 (a0,b0),一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 (a0),完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0, b0, c0),不完全的 一元二次方程,ax2+c=0 (a0,c0),ax2=0 (a0),归纳：,例1：,判断下列方程是否为一元二次方程？,(1)x2+x =36,(2) x3+ x2=36,(3)x+3y=36,(5) x+1=0,判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方

4、程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个条件进行判别。,（默3）,下列方程中哪些是一元二次方程？,是一元二次方程的有：_,尝试练习：,可能为0,是分式,是二次根式,例题讲解,例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数： (1),例题讲解,(2),解：,二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,ax2 + bx + c = 0,注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必须先将方程化为一般形式,二次项系数,一次项系数,常数项,(a0),在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后

5、是常数项。,例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：,3x25x10,x2 x80,3,5,1,1,1,8,3,5,1,1,1,8,7x2 40,7,0, 4,4,2x2+x+4=0,2,1,-4y2+2y=0,-4,2,0,3x2-x-1=0,3,-1,-1,抢答：,4x2-5=0,4,0,-5,m-3,1-m,-m,3x(x-1)=5(x+2),(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m3),3,-8,-10,方程(2a4)x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？ 在什么条件下此方程为一元一次方程？,解：,由题意得，2a40，解之得

6、a2,当a2时是一元二次方程；,当a2且b0时是一元一次方程.,例4：,（默4）,1.关于x的方程(k3)x2 2x10, 当k时，是一元二次方程,2.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k 时，是一元二次方程 当k 时，是一元一次方程,3,1,1,练习巩固,m=1,3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0,D,已知关于x的一元二次方程(m1)x23x-5m40有一根为2,求m.,分析:一根为2，即x2,只需把x2代入原方程.,

7、一元二次方程解的概念,方程解的定义是怎样的呢?,能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.,（默6）,已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。,解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，,32+3a+a=0,9+4a=0,4a=-9,练一练,6,?,A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,B,看谁眼力好！,下列方程中，哪些是一元二次方程？,先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件,1.本节学习的数学知识是：,2、学习的数学思想方法是,3、如何理解一元二次方程的一般形式,(a0)？,（1）,（2）,（1）,（

8、2）,一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式,转化、建模思想。,(a0)是成为一元二次方程的必要条件,找一元二次方程的二次项、一次项 系数及常数项要先化为一般式,知识回顾,一、一元二次方程的概念,一般形式：ax2+bx+c=0 (a0),对应练习1： 1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般 形式 .其中二次项系数 ，常数项 .,2. 当m 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 当m 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.,x2+3x-3=0,1,-3,2,2,1.下列方程中，关于x的一元二次方程是 （ ）,A.,B.,C.

9、,D.,A,（1）三个特征：只含有一个未知数； 方程的两边都是整式； 未知数的最高次数为2次.,（2）形如ax2 + bx + c=0（a0）叫做一元二次方程.,2.关于x的方程（a-1）x2 - 2x + 3=0是一元二次方程，则 （ ） A. a1 B. a1 C.a=1 D.a1,D,一元二次方程的概念,方程（m1)x2mx1=0为关于x的一元二次方程,则m的值为( ) A . 任何实数 B. m0 C. m1 D. m0 且m1,C,4.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2

10、-1 D.(a2+1)x2=0,D,5、已知x=2是一元二次方程 的一个解，则m=_ 。,6、已知 是方程 的一个解，则 的 值是_。,-3,5,7、方程mx2+5x+m=0一定是（ ）。 (A)一元二次方程； (B)一元一次方程; (C) 整式方程; (D)关于x的一元二次方程,C,已知方程 (m2) (m2)x40 （1）m为何值时它是一元二次方程？ （2）m为何值时它是一元一次方程？,分析：（1）由一元二次方程的一般形式，m222，故m20，故m2； （2）需分三种情况讨论：m20，此时m2；m221，此时m ；显然x0，故若m220，则原方程也是一元一次方程,解：（1）由m222，m20 得m2； （2）分三种情况讨论：,一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。,m20,即m2时,原方程为4x40，是一元一次方程； m221，即m 时，原方程为 2 x40，是 一元一次方程； 显然x0，否则有40；故当m220，即m 时， 原方程为( 2)x6 0，也是一元一次方程。 综上：当m2时，它是一元二次方程；当m2， ， 时，它是一元一次方程。,否则有4=0,点拨：对于方程ax2bxc0(x为未知数)，若a0时，它是一元二次方