昆明理工大学 《自动控制原理第5章》 李玉惠主编 课后习题答案

1、第5 章 频域分析法 第5 章 频域分析法 5.1 学习要点学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解思考与习题祥解 题题5.1 判断下列概念的正确性 (1) 将频率为 0 的正弦信号加入线性系统， 这个系统的稳态输出也将是同一 频率的。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p M仅与阻尼比有关。 (3) 在开环传递函数中增加零点总

2、是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定 性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统， 如果幅值裕量是负分贝值， 闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统， 须幅值裕量大于1且相位裕量大于0， 闭环系统 才是稳定的。 o (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为。 0o (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12)

3、幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25K + + =TTT sTsTs sTK sG （2） )100( 250 )( 2 + = sss sG （3） 1 )( 2 . 0 + = s e sG 解： （1）)0(, ) 1)(1( ) 1( )( 321 21 3 + + =TTT sTsTs sTK sG 当时，0 + =)(A 90)(=， 当=时，0)(=A， 180)(= 当由0， + )(变化趋势由。设，10=KdBK2010lg20lg20=，转折频率如图示，对应的幅相频率 特性

4、和对数频率特性如图5.11. 课后答案网 ( )R ( )jI = + =0 ( )L ( ) 1 /1 T 2 / 1 T 3 /1 T 图5.11 题5.4（1）用图 （2） ) 1 100 1 100 1 ( 5 . 2 )100( 250 )( 2 2 + = + = sss sss sG 转折频率 1 10=，dBK85 . 2lg20lg20=。 ) 100 1 1 100 1 arctan(90)( 2 = ， 57.9057. 090) 100 1 1 100 1 arctan(90) 1 (= = 1809090) 11 10 1 arctan(90)10(= = 42.26

5、942.17990) 1001 1 arctan(90)100(= = 当由0， + )(变化趋势由，对应的幅相 频率特性和对数频率特性如图5.12. 27018090 课后答案网 ( )R ( )jI = + =0 ( )L ( ) 图5.12 题5.4（2）用图 （3） 1 )( 2 . 0 + = s e sG 转折频率1 1 =，dBK01lg20lg20=。 arctan2 . 0)(=， (0)0= o 5 .56455 .111arctan3 .5712 . 0) 1 (= 3 .1993 .8411510arctan3 .57102 . 0)10(= 4 .12394 .891

6、150100arctan3 .571002 . 0)100(= 当由0，)(变化趋势由，对应的幅相频率特性和对数 频率特性如图5.13. 0 ( )R ( )jI = ( )L ( ) 0= (1, 0)j 图5.13 题5.4（3）用图 题题5.5 设系统的开环幅相频率特性如图题5.5所示。 试写出开环传递函数的 形式，并判断闭环系统是否稳定。图中，P为开环传递函数右半平面的极点 数，为其 S N0=s的极点数。 课后答案网 Im 1 Im 0= Re = 1 0= Re ImIm = 1 0= Re = 1 0= Re = 0,2PN=0,0PN= 2, 0= NP 0, 1= NP0,

7、1= NP 1 Im = Im Re = 1 Re ImIm = 1 0=Re = 1 0= Re = 0, 2= NP0, 1 = NP 0= 0= 1, 1 = NP 题5.5图 解解：解题思路提示：根据、和开环幅相频率特性的相位变化确定开环 传递函数形式。 PN (a) 为不稳定的惯性环节，开环传递函数的形式为 1 )( = Ts K sG。由图知， 当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次数之差为 2 0 2 1P =，故闭环系统稳定。 (b) 根据1P =、和开环幅相频率特性的起始相位， 可判断开环系统含 有一不稳定惯性环节。开环传递函数的形式为 0N = 4321

8、 21 43 , ) 1)(1( ) 1)(1( )(TTTT sTsT sTsTK sG + + = 由图知，当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 22 1 0 P ，故闭环系统不稳定。 (c) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为) 1()(=TsKsG。由图知， 当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次数之差为 1 0 22 P ，故闭环系统不稳定。 (d) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 4321 32 2 41 , ) 1)(1( ) 1)(1( )(TTTT sTsTs sTsTK sG + + = 或 321 2 2 2 2

9、 31 , ) 12( ) 1)(1( )(TTT TssTs sTsTK sG + + = 由图知，当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 2 00 P =，故闭环系统稳定。 (e) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 课后答案网 321 32 1 , ) 1)(1( ) 1( )(TTT sTsTs sTK sG + + = 由图知，当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 2 01 P ，故闭环系统不稳定。 (f) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 ) 1( )( 2 + = Tss K sG 由图知，当由，开环幅相频率特性

10、0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 22 1 0 P ，故闭环系统不稳定。 (g) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 321 321 , ) 1)(1)(1( )(TTT sTsTsT K sG + = 由图知，当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 2 0 2 1P =，故闭环系统稳定。 (h) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为 ) 1)(1( )( 21 = sTsT K sG， 由图知，当由，开环幅相频率特性0)(jG在) 1,(区间正负穿越次 数之差为 2 00 P ，故闭环系统不稳定。 题题5.6 已知最小相位系统的开环对数频率特性如

11、图5.68所示。试写出开环 传递函数的形式，并绘制近似的对数相频特性。 ( )L ( )L ( )L ( )L ( )L ( )L 2 . 0 1= 1 . 0 2= 题5.6图 解解： 课后答案网 (a) 开环传递函数的形式为 ) 1 500 1 )(1 10 1 )(1( )( + = sss K sG 根据dBK60lg20=，。近似的对数相频特性如图5.14。 100=K ( )L ( ) 图5.14 题5.6（a）对数相频特性 (b) 开环传递函数的形式为 ) 1 100 1 )(1( 100 )( + = sss sG 近似的对数相频特性如图5.15。 ( )L ( ) 图5.15

12、题5.6（b）对数相频特性 (c) 开环传递函数的形式为 课后答案网 ) 1 100 1 ( 1 . 0 )( + = s s sG 近似的对数相频特性如图5.16. ( )L ( ) 图5.16题5.6（c）对数相频特性 (d) 开环传递函数的形式为 ) 1 80 1 ( ) 1(64 )( 2 + + = ss s sG 近似的对数相频特性如图5.17。 ( )L 110 0 80 -1 -2 -2 8 ( ) 0 _ 90 180 _ 图5.17题5.6（d）对数相频特性 (e) 开环传递函数的形式为 22 222 22 11 1 (2 ( ) 21 K T sT S G s T sTS

13、 1)+ = + 课后答案网 其中 1 1 4 T =， 2 1 60 T =， 1 0.2=， 2 0.1=。近似的对数相频特性如图5.18。 ( )L 460 0 -2 2 . 0 1= 1 . 0 2 = 20 ( ) 0 _ 90 180 _ 图5.18 题5.6（e）的对数相频特性 (f) 开环传递函数的形式为 2 12 ( ) (1)(1) KS G s TsT S = + 由低频锻20lg0Ksd=B的点得 1 5 0.2 K =，同时 1 20lg12 0.2 dB =，解得 1 4 0.2 ， 1 0.8=；则 1 1 1 1.25T =。 由高频锻 2 20 40lg12d

14、B = ，解得 2 20 2 ， 2 10=；则 2 2 1 0.1T =。近 似的对数相频特性如图5.19。 ( ) ( )L 图5.19 题5.6（f）的对数相频特性 课后答案网 题题5.7 试用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 各系统的开环传递函数如 下： （1）)(, ) 1)(1( ) 1( )( 213 21 3 TTT sTsTs sTK sG+ + + = （2） )10)(1( 20 )( + = sss sG （3） )2( )100(10 )( + = ss s sG 解：解： （1）)(, ) 1)(1( ) 1( )( 213 21 3 TTT sTsTs sTK

15、sG+ + + = 这是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 3 12 (1) () (1)( K j T G j jj Tj T1) + = + 幅频特性为 2 3 22 12 ()1 ( ) ()1()1 KT A TT + = + + 2 T相频特性为 31 ( )90arctanarctanarctanTT = + o 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当0 + 时，有 2 )( j e K j K jG = 即，。 = +) 0(A 90)0(= + 当时，。 ( )0A =( )() 90180nm = = oo 因为，所以开环幅

16、相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅 相频率特性与负实轴无交点。 开环幅相频率特性如图5.20， 31 TTT+ 2 由0到0的增补特 性如图中虚线所示。 + ( )R ( )jI = + =0 0= 课后答案网 图5.20 题5.7(1)的开环幅相频率特性 可以看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围( 1, 0)j点，所以，闭 环系统是稳定的。 （2） )10)(1( 20 )( + = sss sG 这也是一个I型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为 2 () (1)( 0.1 G j jjj = 1)+ 幅频特性为 22 2 ( ) 1(0.1 )1 A = + + 相频特

17、性为 ( )90arctanarctan(0.1 ) = o 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当0 + 时，。 = +) 0(A 90)0(= + 当时，。 ( )0A =( )() 90270nm = = oo 开环幅相频率特性与负实轴的交点。 开环幅相频率特性与负实轴的交点满足，即 ()180 j = o 90arctanarctan(0.1)180 jj = oo 或 arctan(0.1)90arctan jj = o 两边取正切： tanarctan(0.1)tan90arctan jj = o 有 1 0.1 j j = 解得 10 j = 代入

18、幅频特性，得 22 ()0.134 1010 11 1220 j A= + + = 开环幅相频率特性与负实轴的交点坐标为( 0.134, 0)j。 开环幅相频率特性如图5.21，由0到0+的增补特性如图中虚线所示。 课后答案网 ( )R ( )jI = + =0 0= ( 0.134, 0)j 图5.21 题5.7(2)的开环幅相频率特性 可以看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围( 1, 0)j点，所以，闭 环系统是稳定的。 （3） )2( )100(10 )( + = ss s sG 这是一个非最小相位系统，开环右极点数目1P =。开环频率特性为 50( 0.011) () ( 0.51

19、) j G j jj + = 幅频特性为 2 2 50 (0.01 )1 ( ) (0.5 )1 A + = + 相频特性为 ( )90180arctan(0.5 )arctan(0.01 ) = + oo 首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。 当0 + 时，。 = +) 0(A(0 )270 + = o 当时，( )0A =( )90 = o。 开环幅相频率特性与负实轴的交点。 开环幅相频率特性与负实轴的交点满足，即 ()180 j = o 90180arctan(0.5)arctan(0.01)180 jj += ooo 或 arctan(0.5)90arct

20、an(0.01) jj = o 两边取正切： tanarctan(0.5)tan90arctan(0.01) jj = o 有 1 0.5 0.01 j j = 解得 200 j = 课后答案网 代入幅频特性， 得 50 1.02 ( )0.5 20051 A= = ，开环幅相频率特性与负实轴的 交点坐标为。 ( 0.5, 0)j 开环幅相频率特性如图5.22，由0到0+的增补特性如图中虚线所示。 ( )R ( )jI = + =0 0=( 0.5, 0)j 图5.22 题5.7(3)的开环幅相频率特性 由图看出，当由0到时，开环幅相频率特性不包围( 1, 0)j点，所以，闭 环系统不稳定的。

21、 题题5.8 试用对数频率特性求取系统的相位裕量和增益裕量， 判断闭环系统的 稳定性。 （1） ) 108. 0)(12 . 0( 25 )( + = sss sG （2） ) 1005. 0)(1025. 0( ) 1(100 )( 2 + + = sss s sG （3） ) 15 . 0)(11 . 0( 2 )( + = sss sG 解：解： （1） ) 108. 0)(12 . 0( 25 )( + = sss sG 系统开环频率特性为 25 () ( 0.21)( 0.081) G j jjj = + 幅频特性为 22 25 ( ) (0.2 )1(0.08 )1 A = + +

22、 相频特性为 ( )90arctan0.2arctan0.08 = o 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 课后答案网 22 25 ( )20lg( )20lg (0.2 )1(0.08 )1 LA = + + 其中 20lg2528=dB，转折频率 12 11 5,12.5 0.20.08 =。对数频率 特性如图5.23。 ( )L ( ) c j 图5.23 题5.8(1)的对数频率特性 求相位裕量 令 22 2525 ()1 0.20.08 (0.2)1(0.08)1 c ccc ccc A = + + 3 25 11.6 0.2 0.08 c = o o j 相位 ()90arc

23、tan(0.2 11.6)arctan(0.08 11.6) c = o 9066.6842.86199.54= = ooo 相位裕量 ()180()180199.5419.54 cc =+= ooo 求增益裕量 令 ()90arctan0.2arctan0.08180 jj = = oo 90arctan0.2arctan0.08 jj = o 两边取正切： tan90arctan0.2tanarctan0.08 jj = o 有 1 0.08 0.2 j j = 课后答案网 解之，得7.9 j =。代入幅频特性，得 22 25 ()1.43 7.9(0.2 7.9)1(0.08 7.9)1

24、 j A= + + 则增益裕量 1 0.699 1.43 GM =。 判断闭环系统的稳定性。 因为相位裕量，增益裕量()19.540 c = oo 0.6991GM = oo 1.941GM =，故闭环系统稳 定。 （3） 2 ( ) (0.11)(0.51) G s sss = + 系统开环频率特性为 2 () ( 0.11)( 0.51) G j jjj = + 课后答案网 幅频特性为 22 2 ( ) (0.1 )1(0.5 )1 A = + + 相频特性为 ( )90arctan0.1arctan0.5 = o 首先绘制开环对数频率特性。 对数幅频特性 22 2 ( )20lg( )2

25、0lg (0.1 )1(0.5 )1 LA = + + 其中 20lg26=dB，转折频率 12 11 2,10 0.50.1 =。对数频率特性如 图5.25。 ( )L ( ) c j 图5.25 题5.8(3)的对数频率特性 求相位裕量 令 22 22 ()1 0.5 (0.1)1(0.5)1 c cc ccc A = + + = 42 c = 相位 ()90arctan(0.1 2)arctan(0.5 2) c = o 9011.345146.3= = oooo o j 相位裕量 ()180()180146.333.7 cc =+= ooo 求增益裕量 令 ()90arctan0.1a

26、rctan0.5180 jj = = oo 90arctan0.1arctan0.5 jj = o 两边取正切： 课后答案网 tan90arctan0.1tanarctan0.5 jj = o 有 1 0.5 0.1 j j = 解之，得4.47 j =。代入幅频特性，得 22 22 ()0.2 0.5 (0.1)1(0.5)1 j jj jjj A = + + = 则增益裕量 1 5 0.2 GM =。 判断闭环系统的稳定性。 因为相位裕量，增益裕量()33.70 c = oo 51GM =，故闭环系统稳定。 题题5.9 已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环的频率特 性，计算系统的谐振峰值和谐振频率。 （1） ) 1( 12 )( + = ss sG （2） ) 15( ) 15 . 0(10 )( + + = ss s sG 解：解：绘制系统的闭环频率特性略略，下面计算系统的谐振峰值和谐振频率。 （1） ) 1( 12 )( + = ss sG 系统的闭环传递函数 2 ( )12 ( ) 1(